Konvergenz Fourierreihe < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:52 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
| Aufgabe | [mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } -1\le x<0 \mbox{} \\ x^3, & \mbox{für } 0\le x<1 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Für welche [mm] x\in\IR [/mm] konvergiert die Fourierreihe gegen f(x)? |
Die Fourierreihe habe ich berechnet:
[mm] F(x)=\bruch{1}{8}+\summe_{n=1}^{\infty}((-1)^n\bruch{3}{\pi^2n^2}-(-1)^n\bruch{6}{\pi^4n^4}+\bruch{6}{\pi^4n^4})cos(nx\pi)+((-1)^n\bruch{1}{n\pi}+(-1)^n\bruch{6}{\pi^3n^3})sin(nx\pi)
[/mm]
Die Fourierreihe konvergiert gegen f(x) in dem Bereich wo sie stetig ist oder?
Den sin Teil brauch ich nicht beachten da dieser immer 0 ist.
Aber wie betrachte ich den cos Teil da dieser sowohl von x als auch von n abhängt?
Gruß
Boki87
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Hallo Boki87,
wieso brauchst Du den Sinusteil nicht zu beachten?
Such Dir mal ein n aus. Ok.
Wieviel ist nun [mm] \sin{(n*\wurzel{3}*\pi)}?
[/mm]
Nein, ich weiß es auch nicht. Dazu müsste ich wenigstens Dein n haben. Außer für n=0 ist das Ergebnis aber nicht 0.
lg,
reverend
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:04 Do 22.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
Stimmt...irgendwie hatte ich nur ganze Zahlen für x im Kopf...
Ich würde sagen die Fourierreihe ist für alle x stetig, es gibt ja kein x das ich nicht einsetzten darf oder?
Gruß
Boki87
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:22 Do 22.01.2009 | | Autor: | reverend |
Ja, genau.
Ich schreibe dies trotzdem als Mitteilung, weil Deine ursprüngliche Aufgabe noch der Lösung harrt. Heute abend kriege ich das nicht mehr hin, aber vielleicht sieht es so noch jemand anders, wer weiß?
Grüße,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:41 Do 22.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
Dies würde doch dann letzten Endes bedeuten, dass die Fourierreihe für alle x gegen f(x) konvergiert oder?
Gruß
Boki87
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:27 Do 22.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich nehme an, Ihr solltet f 2-periodisch auf ganz [mm] \IR [/mm] fortsetzen.
diese Fortsetzung ist stetig auf [mm] \IR [/mm] \ { 2k+1: k [mm] \in \IZ [/mm] }.
In allen Punkten x [mm] \in \IR [/mm] \ { 2k+1: k [mm] \in \IZ [/mm] } konvergiert dann die Fourierreihe gegen f(x).
Nach der Dirichletschen Regel (die hattet ihr sicher) konvergiert die F. -Reihe in einem Punkt 2k+1 (k [mm] \in \IZ) [/mm] gegen 1/2
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Do 22.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
Uff jetzt bin ich total verwirrt...![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Also ich frag mal nochmal ganz von Anfang, wenn ich herausfinden muss für welche [mm] x\in\IR [/mm] die Fourierreihe gegen f(x) konvergiert?
Untersuche ich dann in welchem Bereich die Funktion oder die Fourierreihe stetig ist?
Als nächstes wie komm ich denn auf [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{2k+1: k\in\IZ\}?
[/mm]
Und die Dirichletschen Regel sagt mir jetzt auch nichts, ich habe auch probiert mal zu googeln aber da finde ich auch nichts vernünftiges. Kann es sein, dass diese noch unter einem anderen Namen bekannt ist?
Gruß
Boki87
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:03 Fr 23.01.2009 | | Autor: | fred97 |
ohne die genauen Vor. für die D. _Regel zu nennen (Deine Funktion erfüllt die Vor. !):
Sei [mm] x_0 \in \IR. [/mm] Dann konv. die Fourierreihe von f gegen
[mm] \bruch{f(x_0 +) + f(x_0 -)}{2}
[/mm]
wobei [mm] f(x_0 [/mm] +) der rechtsseitige Grenzwert von f in [mm] x_0 [/mm] ist und [mm] f(x_0 [/mm] -) linksseitige.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 Do 22.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
Und ja, des mit dem 2-periodisch stimmt.
Gruß
Boki87
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