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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz, Integraltest
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Konvergenz, Integraltest: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:48 So 29.10.2006
Autor: verwirrt

Aufgabe
Überprüfen Sie die Konvergenz für folgende Reihe:
[mm] \summe_{i=2}^{n} \bruch{1}{n²-n} [/mm]

Also; Ich denke, man muss den Integraltest anwenden; Ich habe zunächst eine Partialbruchzerlegung gemacht um das Ganze leichter Integrieren zu können; für mich ergibt sich dadurch [mm] \integral_{a}^{\infty} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \integral_{a}^{\infty} \bruch{1}{n-1} [/mm] ergibt - ln(n) + ln(n-1) ... das ergibt für mich sowas wie - [mm] \infty [/mm] + [mm] \infty [/mm] .... Ist das soweit richtig??? Oder hab ich bis dahin schon einen Fehler?
Jetzt habe ich versucht die Regel von de l'Hospital anzuwenden, aber das ergibt für mich wieder nur Blödsinn. Bzw. da stecke ich dann fest... Mein Hausverstand sagt mir ja das Ganze konvergiert, aber mein Hausverstand ist keine gute mathematische Begründung ;) ..
Naja, über einige Tips und Ratschläge würde ich mich freuen.
Grüße, S.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Konvergenz, Integraltest: Teleskopsumme
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:57 So 29.10.2006
Autor: Loddar

Hallo verwirrt,

[willkommenmr] !!


Wenn Du schon die Partialbruchzerlegung vorgenommen hast, kannst Du doch aus dieser Reihe eine sogenannte "Teleskopsumme" machen, da sich hier die meisten Summanden eliminieren:

[mm]\summe_{i=2}^{n} \bruch{1}{i^2-i} \ = \ \summe_{i=2}^{n} \left(\bruch{1}{i-1}-\bruch{1}{i}\right) \ = \ \underbrace{\red{\bruch{1}{1}}-\bruch{1}{2}}_{i=2}+ \underbrace{\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}}_{i=3}+\underbrace{\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}}_{i=4}+...+\underbrace{\bruch{1}{n-1} \ \red{-\bruch{1}{n}}}_{i=n} \ = \ \red{1-\bruch{1}{n}} [/mm]

Nun Grenzwertbetrachtung für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] ...


> Also; Ich denke, man muss den Integraltest anwenden;

Wie oben gezeigt nicht unbedingt erforderlich ...


> [mm]\integral_{a}^{\infty} -\bruch{1}{n} +\integral_{a}^{\infty} \bruch{1}{n-1}[/mm] ergibt - ln(n) + ln(n-1) ...


Du musst hier aber die Grenzen anders setzen: [mm] $\limes_{a\rightarrow\infty}\integral_{\red{2}}^{\red{a}}...$ [/mm]


Und das Ergebnis $... \ = \ [mm] \left[ \ -\ln(n)+\ln(n-1) \ \right]_2^a$ [/mm] kann man nun mit einem MBLogarithmusgesetz zusammenfassen:

$... \ = \ [mm] \left[ \ \ln\left(\bruch{n-1}{n}\right) \ \right]_2^a [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \ln\left(1-\bruch{1}{n}\right) \ \right]_2^a [/mm] \ = \ [mm] \ln\left(1-\bruch{1}{a}\right)-\ln\left(1-\bruch{1}{2}\right)$ [/mm]

Und auch nun wieder Grenzwertbetrachtung für [mm] $a\rightarrow\infty$ [/mm] ...


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Konvergenz, Integraltest: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:00 So 29.10.2006
Autor: verwirrt

Aufgabe
Ergebnis (Teleskopsumme) für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ist ja 1..  

.. ist es in diesem Falle das Ergebnis (=1) dann doch eine Aussage bzgl. der Konvergenz, ist es gar die endsumme *???* (nomen est omen.. verwirrt *g*) ..
das mit den Grenzen beim Integraltest haben wir nie so gemacht, aber es erscheint mir einsichtig ;)
danke für die schnelle antwort ;) ..
ich seh's schon kommen, dieses forum wird mir ein guter freund werden *hehe*
grüße aus dem verregneten österreich

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Bezug
                        
Bezug
Konvergenz, Integraltest: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Di 31.10.2006
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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