Konvergenz Linksshiftoperator < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Mi 10.11.2010 | | Autor: | DerGraf |
Sei [mm] X:=l_{2} [/mm] S der Linksshiftoperator auf X
[mm] \Rightarrow [/mm] S: [mm] (x_{1}, x_{2}, ...)\rightarrow(0, x_{1}, x_{2}, [/mm] ...).
Sei weiter [mm] T_{n}x=S^{n}x=(S\circ S\Sirc [/mm] ...)x.
Wie sieht dann der Limes von [mm] T_{n} [/mm] für [mm] n\rightarrow\infty [/mm] aus?
Meiner Meinung nach müsste [mm] T_{n} [/mm] gegen den 0-Operator konvergieren, da für [mm] n\rightarrow\infty [/mm] immer mehr Folgeglieder von x entfallen und x selbst eine 0-Folge sein muss.
Andererseits ist [mm] \|T_{n}\|=1 [/mm] für alle [mm] n\in\IN. T_{n} [/mm] ist somit beschränkt und stetig. Für den Grenzoperator gilt aber [mm] \|T\|=0. [/mm] Die Konvergenz wäre also nur punktweise, was der Stetigkeit von [mm] T_{n} [/mm] widerspricht. Wo liegt mein Denkfehler?
Ich bin für alle Vorschläge offen.
Gruß
DerGraf
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:09 Do 11.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]X:=l_{2}[/mm] S der Linksshiftoperator auf X
> [mm]\Rightarrow[/mm] S: [mm](x_{1}, x_{2}, ...)\rightarrow(0, x_{1}, x_{2},[/mm]
> ...).
>
> Sei weiter [mm]T_{n}x=S^{n}x=(S\circ S\Sirc[/mm] ...)x.
> Wie sieht dann der Limes von [mm]T_{n}[/mm] für [mm]n\rightarrow\infty[/mm]
> aus?
>
> Meiner Meinung nach müsste [mm]T_{n}[/mm] gegen den 0-Operator
> konvergieren,
Das ist falsch !
> da für [mm]n\rightarrow\infty[/mm] immer mehr
> Folgeglieder von x entfallen und x selbst eine 0-Folge sein
> muss.
>
> Andererseits ist [mm]\|T_{n}\|=1[/mm] für alle [mm]n\in\IN. T_{n}[/mm] ist
> somit beschränkt und stetig.
Aha ! Richtig
Für den Grenzoperator gilt
> aber [mm]\|T\|=0.[/mm]
...... wenn es denn einen gibt ...
> Die Konvergenz wäre also nur punktweise
auch falsch !
> was
> der Stetigkeit von [mm]T_{n}[/mm] widerspricht.
wieso das denn ?
> Wo liegt mein
> Denkfehler?
Nirgends ! Manchmal liegt halt keine Konvergenz vor
FRED
>
> Ich bin für alle Vorschläge offen.
>
> Gruß
> DerGraf
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 Do 11.11.2010 | | Autor: | DerGraf |
Danke Fred.. Das heißt also, ich kann schlussfolgern, wenn es einen Grenzoperator gibt, so kann dies nur der 0-Operator sein. Dann muss ich nur noch die Konvergenzkriterien für die mögliche Grenzfunktion überprüfen und diese zu einem Widerspruch führen, was mit [mm] \epsilon=0,5 [/mm] auch passieren würde. :)
Gruß
DerGraf
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:45 Fr 12.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke Fred.. Das heißt also, ich kann schlussfolgern, wenn
> es einen Grenzoperator gibt, so kann dies nur der
> 0-Operator sein. Dann muss ich nur noch die
> Konvergenzkriterien für die mögliche Grenzfunktion
> überprüfen und diese zu einem Widerspruch führen, was
> mit [mm]\epsilon=0,5[/mm] auch passieren würde. :)
Du hast mich völlig mißverstanden ! Es gibt keinen Grenzoperator !!!!
Die Operatorenfolge [mm] (T_n) [/mm] ist nicht mal punktweise konvergent , somit konvergiert sie erst recht nicht in der Operatorennorm !
Sei [mm] x_0 [/mm] =(1,0,0,....) [mm] \in l^2. [/mm] Sind nun n.m [mm] \in \IN [/mm] und m [mm] \ne [/mm] n, so ist
[mm] $||T_nx_0-T_mx_0|| [/mm] = [mm] \wurzel{2}$
[/mm]
Also ist [mm] (T_nx_0) [/mm] keine Cauchyfolge in [mm] l^2 [/mm] und somit nicht konvergent. [mm] (T_n) [/mm] konvergiert also nicht punktweise auf [mm] l^2
[/mm]
FRED
>
> Gruß
> DerGraf
|
|
|
|
