Konvergenz Nullfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Mi 21.10.2009 | | Autor: | hienli |
| Aufgabe | | lim [mm] a_{n} [/mm] = 0 [mm] \gdw lim|a_{n}| [/mm] = 0 |
Letzte Frage für heute! 
Ich habe die Ausgangsfrage:
lim [mm] a_{n} [/mm] = a [mm] \Rightarrow [/mm] lim [mm] |a_{n}| [/mm] = |a|
bereits gelöst und somit auch die Inklusion von links nach rechts erledigt, aber wie zeigt man die umgekehrte Richtung?!
Grüsse,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Domi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Mi 21.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> lim [mm]a_{n}[/mm] = 0 [mm]\gdw lim|a_{n}|[/mm] = 0
> Letzte Frage für heute!
>
> Ich habe die Ausgangsfrage:
>
> lim [mm]a_{n}[/mm] = a [mm]\Rightarrow[/mm] lim [mm]|a_{n}|[/mm] = |a|
>
> bereits gelöst
Zeig doch mal wie Du das gemacht hast.
> und somit auch die Inklusion von links nach
> rechts erledigt, aber wie zeigt man die umgekehrte
> Richtung?!
Die Implikation
lim [mm] |a_n| [/mm] = |a| [mm] \Rightarrow [/mm] lim [mm] a_n [/mm] = a
ist i.a. falsch. Für a=0 ist sie richtig . Dies folgt sofprt aus der [mm] \varepsilon [/mm] .... - Def. der Folgenkonvergenz
FRED
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> Grüsse,
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
> Domi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Mi 21.10.2009 | | Autor: | hienli |
Gar keine schlechte Idee, meine Lösung mal anschauen zu lassen:
Beh: [mm] lima_{n}=a \rightarrow lim|a_{n}|=|a|
[/mm]
Bew: Wegen [mm] lima_{n}=a [/mm] ex. ein [mm] n_{1} [/mm] mit [mm] |a_{n}-a|<\varepsilon [/mm] für [mm] n\gen_{1}
[/mm]
Fallunterscheidung:
z.B. a>0.
Es gibt ein [mm] n_{2}\in\IN [/mm] mit [mm] a_{n}>0
[/mm]
und damit ist [mm] |a_{n}|=a_{n} [/mm] und |a|=a für [mm] n>n_{n}
[/mm]
Wählt man [mm] n_{0}=max{n_{1},n_{2}}, [/mm] dann gilt:
[mm] ||a_{n}|-|a||=|a_{n}-a|<\varepsilon [/mm] für [mm] n\gen_{0}.
[/mm]
Fälle a=0 und a<0 analog!
So habe ich mir das ungefähr gedacht..
Gruss,
domi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Mi 21.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Gar keine schlechte Idee, meine Lösung mal anschauen zu
> lassen:
>
> Beh: [mm]lima_{n}=a \rightarrow lim|a_{n}|=|a|[/mm]
>
> Bew:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0
> Wegen [mm]lima_{n}=a[/mm] ex. ein [mm]n_{1}[/mm] mit
> [mm]|a_{n}-a|<\varepsilon[/mm] für [mm]n\gen_{1}[/mm]
für n [mm] \ge n_1
[/mm]
> Fallunterscheidung:
> z.B. a>0.
> Es gibt ein [mm]n_{2}\in\IN[/mm] mit [mm]a_{n}>0[/mm]
..... für n [mm] \ge n_2
[/mm]
> und damit ist [mm]|a_{n}|=a_{n}[/mm] und |a|=a für [mm]n>n_{n}[/mm]
.............. Du meinst [mm] n_2 [/mm] ?
> Wählt man [mm]n_{0}=max{n_{1},n_{2}},[/mm] dann gilt:
> [mm]||a_{n}|-|a||=|a_{n}-a|<\varepsilon[/mm] für [mm]n\gen_{0}.[/mm]
> Fälle a=0 und a<0 analog!
>
> So habe ich mir das ungefähr gedacht..
Das geht doch viel einfacher ! Es gilt doch
[mm] $||a_{n}|-|a|| \le |a_{n}-a| [/mm] $ für jedes n [mm] \in \IN
[/mm]
Wegen [mm]|a_{n}-a|<\varepsilon[/mm] für [mm]n \ge n_{1}[/mm] gilt
[mm] $||a_{n}|-|a|| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für [mm]n \ge n_{1}[/mm]
(ohne jede Fallunterscheidung)
FRED
>
> Gruss,
> domi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 Mi 21.10.2009 | | Autor: | hienli |
Hmm.. Warum einfach wenn es auch kompliziert geht?!
Ja klar.. ich habe [mm] n_{2} [/mm] gemeint.
Es war wohl ein wenig unübersichtlich.
Ich denke, damit kann ich an die zweite Teilaufgabe gehen.
Ich danke dir für deine Hilfe, wirklich sehr nett!!
Grüsse,
Domi
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