Konvergenz Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:57 Mo 19.11.2012 | | Autor: | a93303 |
| Aufgabe | Prüfen Sie nach für welche x [mm] \in \IR [/mm] der folgenden Potenzreihen konvergieren. Führen Sie dazu auch eine Randbetrachtung durch.
(a) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(x)^{k}}{9^{k}}
[/mm]
(b) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(x-5)^{2k}}{4^{k+1}} [/mm] |
Guten Morgen,
ich habe die oben genannte Aufgabe zu lösen und keine Idee wie ich vorgehen muss.
Vor allem verwirrt mich das "x".
Ist "x" in diesem Fall "n"?
Würde mich freuen, wenn wir jemand helfen könnte :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:38 Mo 19.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Prüfen Sie nach für welche x [mm]\in \IR[/mm] der folgenden
> Potenzreihen konvergieren. Führen Sie dazu auch eine
> Randbetrachtung durch.
> (a) [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(x)^{k}}{9^{k}}[/mm]
> (b)
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(x-5)^{2k}}{4^{k+1}}[/mm]
> Guten
> Morgen,
>
> ich habe die oben genannte Aufgabe zu lösen und keine Idee
> wie ich vorgehen muss.
> Vor allem verwirrt mich das "x".
> Ist "x" in diesem Fall "n"?
Nein. x ist eine Variable. Für jedes x [mm] \in \IR [/mm] bekommst Du eine Reihe.
Die Frage ist: für welche x konvergiert die jeweilige Reihe ?
beispiel:
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(x)^{k}}{9^{k}} [/mm] $
Diese Reihe kann man auch so schreiben: $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{x}{9})^k [/mm] $
Das ist eine geometrische Reihe , als von der Form [mm] \summe_{k=0}^{\infty}q^k
[/mm]
Hier ist [mm] q=\bruch{x}{9}
[/mm]
Was ist Dir bekannt über das Konvergenzverhalten von [mm] \summe_{k=0}^{\infty}q^k [/mm] ?
FRED
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> Würde mich freuen, wenn wir jemand helfen könnte :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Mo 19.11.2012 | | Autor: | a93303 |
Danke schonmal.
Heißt das, ich muss nun mit vollständiger Induktion zeigen, dass für [mm] x\not=1
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n}x^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1-x^{n+1}}{1-x} [/mm] gilt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Mo 19.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Danke schonmal.
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> Heißt das, ich muss nun mit vollständiger Induktion
> zeigen, dass für [mm]x\not=1[/mm]
> [mm]\summe_{k=0}^{n}x^{k}[/mm] = [mm]\bruch{1-x^{n+1}}{1-x}[/mm] gilt?
>
Diesen Satz darfst du benutzen, und musst ihn auch nicht beweisen. Er hat aber eine Voraussetzung an die Basis x. Diese musst du für deine Aufgabe "Abklopfen", damit bekommst du dann eine Einschränkung.
Marius
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