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Hallo
Möchte gerne folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n!)^2}{2n^2}
[/mm]
Via Quot.krit:
[mm] \bruch{(n+1)!^2}{2(n+1)^2}*\bruch{2n^2}{n!^2}=\bruch{((n+1)n!)^2*2n^2}{2(n+1)^2*n!^2}=\bruch{(n+1)^2*2n^2}{2}=(n+1)^2*n^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} n^4+2n^3+n^2=\infty [/mm] >1
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n!)^2}{2n^2} [/mm] divergiert.
Stimmt das so?
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Hallo Babybel,
> Möchte gerne folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n!)^2}{2n^2}[/mm]
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> Via Quot.krit:
> [mm]\bruch{(n+1)!^2}{2(n+1)^2}*\bruch{2n^2}{n!^2}=\bruch{((n+1)n!)^2*2n^2}{2(n+1)^2*n!^2}=\bruch{(n+1)^2*2n^2}{2}=(n+1)^2*n^2[/mm]
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} n^4+2n^3+n^2=\infty[/mm]
> >1
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n!)^2}{2n^2}[/mm]
> divergiert.
>
> Stimmt das so?
Ja, aber es ist unnötig kompliziert.
Hier hätte das Trivialkriterium genügt: die aufsummierte Folge muss eine Nullfolge sein, damit die Reihe überhaupt konvergieren kann. Das ist sie aber nicht, wie aus n!>n für alle n>2 schon folgt.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:55 Mi 05.02.2014 | | Autor: | Babybel73 |
Ok! :) Vielen Dank!
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Hallo Babybel!
Ergänzend zur Antwort von reverend. Es gilt:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n!)^2}{2*n^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n!)^2}{n^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\summe_{n=1}^{\infty} \left(\bruch{n!}{n}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\summe_{n=1}^{\infty}\left[ \ (n-1)! \ \right]^2$
[/mm]
Und das divergiert doch sehr bestimmt und offensichtlich.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Mi 05.02.2014 | | Autor: | fred97 |
Nochmal ergänzend: [mm] \bruch{(n!)^2}{2n^2} \ge \bruch{1}{2} [/mm] für alle n.
FRED
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