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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:35 Mi 23.02.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass folgende Reihe konvergent ist und bestimmen Sie ihren Grenzwert.
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} ln(1+\bruch{1}{5^{2^{k}}})
[/mm]
Benutzen Sie, dass [mm] (1-x)\produkt_{i=0}^{n}(1+x^{{2^{k}}}) [/mm] = 1- [mm] x^{(2^{n+1})} [/mm] gilt. |
Guten Morgen,
habe hier leider schon wieder meine Probleme. Weiß gar nicht wie ich hier ran gehen soll. Vielleicht hat ja jemand einen Tipp für mich.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen Sie, dass folgende Reihe konvergent ist und
> bestimmen Sie ihren Grenzwert.
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> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} ln(1+\bruch{1}{5^{2^{i}}})[/mm]
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> Benutzen Sie, dass [mm](1-x)\produkt_{i=0}^{n}(1+x^{{2^{k}}})[/mm] =
> 1- [mm]x^{(2^{n+1})}[/mm] gilt.
> Guten Morgen,
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> habe hier leider schon wieder meine Probleme. Weiß gar
> nicht wie ich hier ran gehen soll. Vielleicht hat ja jemand
> einen Tipp für mich.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Guten Morgen,
wende hier das Logarithmengesetz [mm] $\ln(a\cdot b)=\ln a+\ln [/mm] b$ auf die Glieder der Reihe an.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 Mi 23.02.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Berechne mal [mm] e^{\summe_{i=0}^{n} ln(1+\bruch{1}{5^{2^{k}}})}. [/mm] Das kannst du, dank des Tipps, ganz leicht machen. Dann [mm] n\to\infty [/mm] gehen lassen. Danach musst du nur noch den Logarithmus anwenden um den Wert deiner ursprünglichen Reihe zu bekommen.
Um zu zeigen, dass die Reihe überhaupt konvergiert, könntest du $ln(x) [mm] \le [/mm] x-1$ für alle x verwenden. (Majorantenkriterium)
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Hi,
also was man benutzen kann ist ja:
[mm] \produkt_{i=0}^{n}(\right 1+x^{2^{i}})\left = \bruch{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}
Nun ist \summe_{i=0}^{\infty}ln(1+\bruch{1}{5^{2^{i}}}) = ln(1+\bruch{1}{5}) + ln(1+\bruch{1}{5^2}) + ...
=ln[(1+1/5)*(1+1/5^2)*...]
\Rightarrow jetzt benutze ich die obige Formel:
ln[ (1+1/(5^{2^{n}}))/(1 - 1/5 )]
das ist ja eine geometrische Reihe.
Wenn jetzt also n gegen \infty gehen lasse
\Rightarrow ln(1/(1- 1/5)) = ln(\bruch{5}{4})
Ist das richtig so?
P.S.: Kann es sein, dass heute etwas mit dem Editor nicht i.O. ist?
[/mm]
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Moin,
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> also was man benutzen kann ist ja:
> [mm] \produkt_{i=0}^{n}\left(1+x^{2^{i}}\right) [/mm] = [mm] \bruch{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}
[/mm]
> Nun ist [mm] \summe_{i=0}^{\infty}\ln(1+\bruch{1}{5^{2^{i}}}) [/mm] = [mm] \ln(1+\bruch{1}{5}) [/mm] + [mm] \ln(1+\bruch{1}{5^2}) [/mm] + ...
> [mm] =\ln[(1+1/5)*(1+1/5^2)*...]
[/mm]
Summe besser erstmal nur für ein festes n betrachten. Damit kannst du die Pünktchenschreibweise vermeiden.
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}\ln(1+\bruch{1}{5^{2^{i}}})= \ln\left(\prod_{i=0}^n\left(1+\bruch{1}{5^{2^{i}}}\right)\right)=\ln\left(\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}\right) [/mm] mit x=1/5
> [mm] \Rightarrow [/mm] jetzt benutze ich die obige Formel:
> [mm] \ln[ (1+1/(5^{2^{n\red{+1}}}))/(1 [/mm] - 1/5 )]
> das ist ja eine geometrische Reihe.
Eine geometrische Reihe ist das nicht (die Formel sieht bloß so aus), entscheidend ist, dass nun [mm] n\to\infty.
[/mm]
> Wenn jetzt also n gegen [mm] \infty [/mm] gehen lasse
> [mm] \Rightarrow [/mm] ln(1/(1- 1/5)) = [mm] ln(\bruch{5}{4})
[/mm]
> Ist das richtig so?
Das wäre auch mein Ergebnis. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> P.S.: Kann es sein, dass heute etwas mit dem Editor nicht i.O. ist?
Ich vermute du hast beim Erzeugen 'großer' Klammern was vertauscht (habs editiert). [mm] \backslash\,left( [/mm] und [mm] \backslash\,right) [/mm] müssen immer paarweise auftreten
>
Gruß
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