Konvergenz Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Mi 09.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die Reihen
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{arctan(n)}{n+log(n)}
[/mm]
konvergiert. |
Guten Tag,
habe hier versucht das Quotientenkriterium anzuwenden. Komme aber nicht wirlich weit:
[mm] |\bruch{arctan(n+1)}{n+1+log(n+1)}* \bruch{n +log(n)}{arctan(n)}| [/mm] = | [mm] \bruch{arctan(n+1)}{arctan(n)}* \bruch{n + log(n)}{n+1+log(n+1)}|
[/mm]
Hm und nun weiß ich ehrlich gesagt nicht weiter. Hat jemand einen Tipp für mich?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 Mi 09.03.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Wenn Wurzel-/Quotientenkriterium nicht klappen oder einfach unhandlich sind, würde ich einfach die Folge mal direkt angucken.
Weil der arctan nicht wirklich groß wird [mm] $(arctan(n)\le \frac{\pi}{2}, \forall [/mm] n [mm] \in \IN)$ [/mm] und der Logarithmus auch langsamer wächst als alle Polynome, fallen diese beiden Sachen nicht so sehr ins Gewicht und deshalb sollte sich die Reihe ca. wie [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} [/mm] verhalten, welche ja divergiert.
Also solltest du schauen, ob du Divergenz zeigen kannst, und das am besten in Form des Minorantenkriteriums.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Mi 09.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Vielen Dank für deine Hilfe. Das der Logarithmus langsamer wächst als alle Polynome wusste ich [mm] nicht.\bruch{arctan(n)}{n+log(n)} \ge \bruch{1}{n+log(n)} [/mm] > [mm] \bruch{1}{2n}. [/mm] Also wäre [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{2n} [/mm] eine divergente Minorante. Ist das so richtig?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Mi 09.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für deine Hilfe. Das der Logarithmus langsamer
> wächst als alle Polynome wusste ich
> [mm]nicht.\bruch{arctan(n)}{n+log(n)} \ge \bruch{1}{n+log(n)}[/mm] >
> [mm]\bruch{1}{2n}.[/mm] Also wäre [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{2n}[/mm]
> eine divergente Minorante. Ist das so richtig?
Ja, aber nur wenn Du schreibat: es gibt ein m [mm] \in \IN [/mm] mit:
arctan(n) [mm] \le [/mm] 1 und n > log(n) für n [mm] \ge [/mm] m.
Warum ist das so ?
Dann gilt Deine Abschätzung für n [mm] \ge [/mm] m
FRED
>
> LG Loriot95
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Mi 09.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> > Vielen Dank für deine Hilfe. Das der Logarithmus langsamer
> > wächst als alle Polynome wusste ich
> > [mm]nicht.\bruch{arctan(n)}{n+log(n)} \ge \bruch{1}{n+log(n)}[/mm] >
> > [mm]\bruch{1}{2n}.[/mm] Also wäre [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{2n}[/mm]
> > eine divergente Minorante. Ist das so richtig?
>
> Ja, aber nur wenn Du schreibat: es gibt ein m [mm]\in \IN[/mm] mit:
>
> arctan(n) [mm]\le[/mm] 1 und n > log(n) für n [mm]\ge[/mm] m.
müsste es nicht arctan(n) [mm] \ge [/mm] 1 sein?
Na ja weil der arctan nach oben beschränkt ist durch [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] und da laut Teufel der Logarithmus langsamer wächst als jede Poylnom. So richtig?
>
> Warum ist das so ?
>
> Dann gilt Deine Abschätzung für n [mm]\ge[/mm] m
>
> FRED
>
>
> >
> > LG Loriot95
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 Mi 09.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > Vielen Dank für deine Hilfe. Das der Logarithmus langsamer
> > > wächst als alle Polynome wusste ich
> > > [mm]nicht.\bruch{arctan(n)}{n+log(n)} \ge \bruch{1}{n+log(n)}[/mm] >
> > > [mm]\bruch{1}{2n}.[/mm] Also wäre [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{2n}[/mm]
> > > eine divergente Minorante. Ist das so richtig?
> >
> > Ja, aber nur wenn Du schreibat: es gibt ein m [mm]\in \IN[/mm] mit:
> >
> > arctan(n) [mm]\le[/mm] 1 und n > log(n) für n [mm]\ge[/mm] m.
> müsste es nicht arctan(n) [mm]\ge[/mm] 1 sein?
Klar, da hab ich mich vertippt
FRED
> Na ja weil der arctan nach oben beschränkt ist durch
> [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
> und da laut Teufel der Logarithmus langsamer
> wächst als jede Poylnom. So richtig?
> >
> > Warum ist das so ?
> >
> > Dann gilt Deine Abschätzung für n [mm]\ge[/mm] m
> >
> > FRED
> >
> >
> > >
> > > LG Loriot95
> >
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Hallo,
> > > Vielen Dank für deine Hilfe. Das der Logarithmus langsamer
> > > wächst als alle Polynome wusste ich
> > > [mm]nicht.\bruch{arctan(n)}{n+log(n)} \ge \bruch{1}{n+log(n)}[/mm] >
> > > [mm]\bruch{1}{2n}.[/mm] Also wäre [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{2n}[/mm]
> > > eine divergente Minorante. Ist das so richtig?
> >
> > Ja, aber nur wenn Du schreibat: es gibt ein m [mm]\in \IN[/mm] mit:
> >
> > arctan(n) [mm]\le[/mm] 1 und n > log(n) für n [mm]\ge[/mm] m.
> müsste es nicht arctan(n) [mm]\ge[/mm] 1 sein?
Jo.
> Na ja weil der arctan nach oben beschränkt ist durch [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
Die Schranke nach oben alleine reicht nicht aus. Dann musst du schon dazu sagen, dass der [mm] \arctan [/mm] monton steigend ist und dass es tatsächlich einen Funktionswert [mm] \geq [/mm] 1 gibt. Es ist zum Beispiel [mm] \arctan(n)\geq [/mm] 1 für [mm] n\geq2
[/mm]
> da laut Teufel der Logarithmus langsamer wächst als jede Poylnom. So richtig?
Hier kannst du sogar sehr einfach irgendein m angeben mit [mm] n\geq\log(n) [/mm] für [mm] n\geq [/mm] m. Wähle zum Beispiel m=1.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Mi 09.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Alles klar. Vielen Dank an euch :)
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