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| Aufgabe | Untersuche folgende Reihe auf Konvergenz:
(i) 1 + a + ab + [mm] a^{2}b [/mm] + [mm] a^{2}b^{2} [/mm] + [mm] a^{3}b^{2} [/mm] + ... + [mm] a^{n}b^{n} [/mm] + [mm] a^{n+1}b^{n} [/mm] +... |
Hallo! Die Reihe sieht so aus:
1 + a + ab + [mm] a^{2}b [/mm] + [mm] a^{2}b^{2} [/mm] + [mm] a^{3}b^{2} [/mm] + ... + [mm] a^{n}b^{n} [/mm] + [mm] a^{n+1}b^{n} [/mm] +...= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a^{k}b^{k} [/mm] + [mm] a^{k+1}b^{k}
[/mm]
Ich habe zuerst den Fehler gemacht, diese Reihe in ZWEI Summen aufzuteilen und habe dann später erst erfahren, dass man dies erst tuen darf, wenn man weiß, dass die Reihe konvergent ist.. was ja auch Sinn macht.
Meine Lösung war auch nicht ganz falsch.. nur hat mein Übungsleiter die Aufgabe anders gelöst und zwar mit dem Wurzelkriterium. Ist an sich ja keine schwere Sache, nur verstehe ich nicht, wie man das bei dieser Aufg. anstellen soll und was er da gemacht hat. Die Stunde war schon fast vorbei, desswegen muss ich euch jetzt damit auf die Nerven gehen 
Ich schreibe mal nieder was er getan getan hat:
1 + a + ab + [mm] a^{2}b [/mm] + [mm] a^{2}b^{2} [/mm] + [mm] a^{3}b^{2} [/mm] + ... + [mm] a^{n}b^{n} [/mm] + [mm] a^{n+1}b^{n} [/mm] +... = [mm] \summe_{k \ge 0 } C_n
[/mm]
[mm] C_{2n} [/mm] = [mm] a^{n}b^{n} [/mm]
[mm] C_{2n + 1} [/mm] = [mm] a^{n+1}b^{n} [/mm]
wieso diese Unterteilung in gerade und ungerade? Da fehlen ja dann die [mm] a^{n}b^{n} [/mm] mit n ungerade?! Müsste es dann nicht [mm] C_{2n} [/mm] = [mm] a^{2n}b^{2n} [/mm] heißen? Folglich versteh ich dann auch den nächsten Schritt nicht:
Wurzelkriterium:
[mm] \wurzel[2n]{|a^{n}b^{n}|} [/mm] = [mm] \wurzel[2]{|ab|} [/mm] = [mm] d_n [/mm] (gerade) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] d_n [/mm] = [mm] \wurzel[2]{|ab|}
[/mm]
[mm] \wurzel[2n+1]{|a^{n+1}b^{n}|} [/mm] = [mm] |a^{\bruch{1}{2n+1}}| [/mm] + [mm] |(ab)^{\bruch{n}{2n+1}}| [/mm] = [mm] e_n [/mm] (ungerade) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] e_n [/mm] = [mm] \wurzel[2]{|ab|} \Rightarrow [/mm] |ab| < 1
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Reihe konvergiert für |ab| < 1 divergiert für |ab| [mm] \ge [/mm] 1
Wer möchte mich erleuchten?
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moin,
Die Summe hat folgende Form (ausgeschrieben):
[mm] $a^0b^0 [/mm] + [mm] a^1b^0 [/mm] + [mm] a^1b^1 [/mm] + [mm] \cdots$
[/mm]
Und wenn du nun die Folge der [mm] $C_n$ [/mm] ausschreibst siehst du, dass diese genau die gleiche Form hat.
Davon abgesehen frage ich mich gerade, was die $a,b$ darstellen sollen...
Deine Summe würde ich schreiben als:
[mm] $\summe_{k=0}^\infty \frac{1}{2^k} [/mm] + [mm] \frac{1}{3^k} \stackrel{\*}{=} \summe_{k=0}^\infty \frac{1}{2^k} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^\infty \frac{1}{3^k} [/mm] = R [mm] \in \IR$
[/mm]
*: da die rechte Seite konvergiert, durfte man die Summe hier auseinanderziehen.
Wenn du den entsprechenden Satz noch nicht hattest kriegst du den sicher bald, der ist echt nützlich.
lg
Schadow
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Oh tut mir wahnsinnig leid, ich habe 2 Aufgabenstellung zusammengemixt. Ich korrigiere sofort.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 09.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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