Konvergenz Reihe reellen Zahle < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle reellen Zahlen a, für welche die Reihe konvergiert.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{a^2^n}{1+a^4^n}
[/mm]
Hinweis: Finden Sie sowohl im Fall |a| < 1 also auch im Fall |a| > 1 eine konvergente Marjorante. |
Hallo!
Steh etwas daneben. Hätte folgende Majorante gebildet
[mm] \bruch{a^2^n}{1+a^4^n} [/mm] < [mm] \bruch{a^2^n}{a^4^n} [/mm] < [mm] \bruch{a^n}{a^2^n}
[/mm]
stimmt das?
Wie treffe ich die Unterscheidung für eine Majorante < 1 bzw. als > 1.
Danke!!
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Hiho,
also entweder hast du die Aufgabe nicht korrekt wiedergegeben oder der Hinweis ist Blödsinn.
Betrachte mal:
[mm] $\lim_{n\to\infty} \bruch{a^2n}{1+a^4n}$
[/mm]
Oder meintest du etwa [mm] $\bruch{a^{2n}}{1+a^{4n}}$ [/mm] ?
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:41 So 30.09.2012 | | Autor: | martin_vie |
hi Gono!
Sorry!
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{a^2^n}{1+a^4^n}
[/mm]
Stimmt natürlich wie du das angegeben hast.
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Hiho,
> [mm]\bruch{a^2^n}{1+a^4^n}[/mm] < [mm]\bruch{a^2^n}{a^4^n}[/mm] <
> [mm]\bruch{a^n}{a^2^n}[/mm]
>
> stimmt das?
deine erste Ungleichung stimmt, die zweite nicht!
Darum nochmal langsam. Im Tipp ist ja auch angegeben, dass du eine Fallunterscheidung für $|a| < 1$ und $|a| > 1$ machen sollst.
Da deine erste Ungleichung korrekt ist, schauen wir uns die doch direkt mal genauer an:
[mm]\bruch{a^2^n}{1+a^4^n} < \bruch{a^2^n}{a^4^n} [/mm]
und formen die weiter um zu:
[mm] $=\bruch{1}{a^{2n}} [/mm] = [mm] \left(\bruch{1}{a}\right)^{2n}$
[/mm]
So, für welche a konvergiert nun die dazugehörige Reihe?
Für den anderen Fall beachte mal, dass nicht nur $1 + [mm] a^{4n} [/mm] > [mm] a^{4n}$ [/mm] gilt (was du ja oben verwendet hast), sondern analog auch $1 + [mm] a^{4n} [/mm] > 1$
MFG,
Gono.
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