Konvergenz,Wert abhängig, < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:13 So 09.11.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Entscheiden Sie welche der Eigenschaften beschränkt, konvergent bzw. divergent für die gegebebene Folge vorliegt. Bestimmen Sie im Fall der Konvergenz den Grenzwert.
[mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{(n+1)^k -n^k}{n^{k-1}}, [/mm] wobei k [mm] \in \IN, k\ge [/mm] 1 fest |
Hallo
Eine Frage vornweg:
Sei [mm] b_n [/mm] = [mm] \frac{3n^2 +13n}{n^2+2}
[/mm]
Wenn ich zeige [mm] lim_{n->\infy} b_n [/mm] =3 ist der Grenzwert dann nur ein potenzieller Grenzwert oder hat man damit schon gezeigt, dass die Folge [mm] b_n [/mm] konvergiert=?
[mm] a_1 [/mm] = [mm] 2^k [/mm] -1
[mm] a_2 [/mm] = [mm] \frac{3^k -2^k}{2^{k-1}}
[/mm]
[mm] a_3 [/mm] = [mm] \frac{4^k-3^k}{3^{k-1}}
[/mm]
Für k=1 erhalte ich: [mm] a_1 [/mm] =1, [mm] a_2=1, a_3=1, a_4=1
[/mm]
Für k=2 erhalte ich: [mm] a_1=3, a_2= [/mm] 2 1/2, [mm] a_3=2 [/mm] 1/3, [mm] a_4= [/mm] 2 1/4
Für k=3 ehalte ich: [mm] a_1=7, a_2=4 [/mm] 3/4, [mm] a_3=4 [/mm] 1/9, [mm] a_4= [/mm] 3 [mm] \frac{13}{16}
[/mm]
Wenn k=1 ist, dann ist [mm] a_k [/mm] die konstante Folge [mm] a_n=1 \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] da
[mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{n+1-n}{n^0}= [/mm] 1
Dementsprechend konvergent mit Grenzwert 1.
Wenn k=2 ist, [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{n^2+2n+1-n^2}{n^1}=\frac{2n+1}{n}
[/mm]
[mm] lim_{n->\infty} a_n [/mm] = 2
Wenn k=3 ist, [mm] a_n =\frac{n^3+3n+3n^2+1-n^3}{n^2}= \frac{3n+3n^2+1}{n^2}
[/mm]
[mm] lim_{n->\infty} a_n [/mm] =3
Vermutung [mm] lim_{n->\infty} a_n [/mm] = k
Ich sehe, dass sich im Zähler [mm] n^k [/mm] immer abzieht und man den Grenzwert rausfindet indem man sich den Koeffizient von [mm] n^{k-1} [/mm] im Zähler ansieht.
Aber wie schreib ich das ordentlich zu einen Beweis?
[mm] |\frac{(n+1)^k-n^k}{n^{k-1}}-k|= \frac{|(n+1)^k-n^k-n^{k-1}k|}{n^{k-1}}
[/mm]
Lg,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 So 09.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Entscheiden Sie welche der Eigenschaften beschränkt,
> konvergent bzw. divergent für die gegebebene Folge
> vorliegt. Bestimmen Sie im Fall der Konvergenz den
> Grenzwert.
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\frac{(n+1)^k -n^k}{n^{k-1}},[/mm] wobei k [mm]\in \IN, k\ge[/mm] 1
> fest
> Hallo
>
> Eine Frage vornweg:
> Sei [mm]b_n[/mm] = [mm]\frac{3n^2 +13n}{n^2+2}[/mm]
> Wenn ich zeige
> [mm]lim_{n->\infy} b_n[/mm] =3 ist der Grenzwert dann nur ein
> potenzieller Grenzwert oder hat man damit schon gezeigt,
> dass die Folge [mm]b_n[/mm] konvergiert=?
so, wie Du es schreibst, zeigst Du die Existenz des Grenzwertes. Es gibt
aber durchaus (meist induktive) Folgen, wo man so vorgeht, wie Du es
oben andeutest:
Man nimmt einfach erst mal an, dass die Folge konvergiert. Dann bekommt
man (hoffentlich) eine (endliche) Menge, die potentielle Grenzwerte der
Folge enthält...
Z.B. wenn Du
[mm] $x_{n+1}:=\frac{x_n+\frac{3}{x_n}}{2}$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$)
[/mm]
betrachtest, wobei [mm] $x_1:=1.$
[/mm]
Du kannst nun sagen: "Ich weiß nicht, ob diese Folge konvergiert. Aber wenn
wir annehmen, dass sie dies tun würde, dann gilt mit [mm] $x:=\lim_{n \to \infty}x_n$:
[/mm]
[mm] $\lim_{n \to \infty}x_n=\lim_{n \to \infty} \frac{x_n+\frac{3}{x_n}}{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $...$ [mm] $\Rightarrow$ $x^2=3$ $\Rightarrow$ $x=\pm \sqrt{3}\,.$"
[/mm]
(Man kann sogar weitergehen, und sagen: Wenn die Folge denn konvergiert,
dann folgt, weil alle [mm] $x_n \ge [/mm] 0$ sind, dass dies nur gegen [mm] $\sqrt{3}$ [/mm] sein kann!)
Hier haben wir aber KEINESWEGS bewiesen, dass die Folge überhaupt
konvergent ist... Aber was Du siehst:
Interessant ist das dennoch, denn das bedeutet, dass man die Frage der
Konvergenz der Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] auf die Frage, ob denn (etwa) eine der
Folgen
[mm] $(|\sqrt{3}-x_n|)_n$ [/mm] oder [mm] $(|-\sqrt{3}-x_n|)_n$
[/mm]
eine Nullfolge ist, zurückführen kann.
>
> [mm]a_1[/mm] = [mm]2^k[/mm] -1
> [mm]a_2[/mm] = [mm]\frac{3^k -2^k}{2^{k-1}}[/mm]
> [mm]a_3[/mm] =
> [mm]\frac{4^k-3^k}{3^{k-1}}[/mm]
>
> Für k=1 erhalte ich: [mm]a_1[/mm] =1, [mm]a_2=1, a_3=1, a_4=1[/mm]
> Für k=2
> erhalte ich: [mm]a_1=3, a_2=[/mm] 2 1/2, [mm]a_3=2[/mm] 1/3, [mm]a_4=[/mm] 2 1/4
> Für k=3 ehalte ich: [mm]a_1=7, a_2=4[/mm] 3/4, [mm]a_3=4[/mm] 1/9, [mm]a_4=[/mm] 3
> [mm]\frac{13}{16}[/mm]
>
> Wenn k=1 ist, dann ist [mm]a_k[/mm] die konstante Folge [mm]a_n=1 \forall[/mm]
> n [mm]\in \IN[/mm] da
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\frac{n+1-n}{n^0}=[/mm] 1
> Dementsprechend konvergent mit Grenzwert 1.
>
> Wenn k=2 ist, [mm]a_n[/mm] =
> [mm]\frac{n^2+2n+1-n^2}{n^1}=\frac{2n+1}{n}[/mm]
> [mm]lim_{n->\infty} a_n[/mm] = 2
>
> Wenn k=3 ist, [mm]a_n =\frac{n^3+3n+3n^2+1-n^3}{n^2}= \frac{3n+3n^2+1}{n^2}[/mm]
>
> [mm]lim_{n->\infty} a_n[/mm] =3
>
> Vermutung [mm]lim_{n->\infty} a_n[/mm] = k
> Ich sehe, dass sich im Zähler [mm]n^k[/mm] immer abzieht und man
> den Grenzwert rausfindet indem man sich den Koeffizient von
> [mm]n^{k-1}[/mm] im Zähler ansieht.
> Aber wie schreib ich das ordentlich zu einen Beweis?
> [mm]|\frac{(n+1)^k-n^k}{n^{k-1}}-k|= \frac{|(n+1)^k-n^k-n^{k-1}k|}{n^{k-1}}[/mm]
Nutze den binomischen Lehrsatz in Deinem Ansatz
[mm] $\left|\frac{(n+1)^k-n^k}{n^{k-1}}-k\right|=\left|\frac{\red{n^k}+\left(\sum_{\red{m=1}}^k{k \choose m}n^{k-m}\right)-n^{k}}{n^{k-1}}-k\right|$
[/mm]
(Beachte, dass die Anzahl der Summanden nur von k, nicht von n, abhängt,
das ist wichtig beim Grenzübergang $n [mm] \to \infty\,,$ [/mm] da nicht in eine Falle zu tappen!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Mo 10.11.2014 | | Autor: | sissile |
> > Vermutung [mm]lim_{n->\infty} a_n[/mm] = k
> > Ich sehe, dass sich im Zähler [mm]n^k[/mm] immer abzieht und
> man
> > den Grenzwert rausfindet indem man sich den Koeffizient von
> > [mm]n^{k-1}[/mm] im Zähler ansieht.
> > Aber wie schreib ich das ordentlich zu einen Beweis?
> > [mm]|\frac{(n+1)^k-n^k}{n^{k-1}}-k|= \frac{|(n+1)^k-n^k-n^{k-1}k|}{n^{k-1}}[/mm]
>
> Nutze den binomischen Lehrsatz in Deinem Ansatz
>
> [mm]\left|\frac{(n+1)^k-n^k}{n^{k-1}}-k\right|=\left|\frac{\red{n^k}+\left(\sum_{\red{m=1}}^k{k \choose m}n^{k-m}\right)-n^{k}}{n^{k-1}}-k\right|[/mm]
>
> (Beachte, dass die Anzahl der Summanden nur von k, nicht
> von n, abhängt,
> das ist wichtig beim Grenzübergang [mm]n \to \infty\,,[/mm] da
> nicht in eine Falle zu tappen!)
Hallo Marcel,
[mm] \left|\frac{\red{n^k}+\left(\sum_{\red{m=1}}^k{k \choose m}n^{k-m}\right)-n^{k}}{n^{k-1}}-k\right| [/mm] = [mm] |\sum_{m=1}^k \vektor{k\\ m} n^{-m+1} [/mm] -k|
Die Endsummanden der Summe:
m=1 -> [mm] \vektor{k \\ 1}n^{-1+1}=kn^0=k
[/mm]
m=k -> [mm] \vektor{k \\ k}n^{-k+1}=n^{-k+1}
[/mm]
Aber die Summe kann ich nicht durch k abschätzen oder doch für k > [mm] \frac{1}{n^{k-1}} [/mm] dh. n > [mm] \wurzel[k-1]{1/k}
[/mm]
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Mo 10.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Vermutung [mm]lim_{n->\infty} a_n[/mm] = k
> > > Ich sehe, dass sich im Zähler [mm]n^k[/mm] immer abzieht und
> > man
> > > den Grenzwert rausfindet indem man sich den Koeffizient von
> > > [mm]n^{k-1}[/mm] im Zähler ansieht.
> > > Aber wie schreib ich das ordentlich zu einen
> Beweis?
> > > [mm]|\frac{(n+1)^k-n^k}{n^{k-1}}-k|= \frac{|(n+1)^k-n^k-n^{k-1}k|}{n^{k-1}}[/mm]
>
> >
> > Nutze den binomischen Lehrsatz in Deinem Ansatz
> >
> >
> [mm]\left|\frac{(n+1)^k-n^k}{n^{k-1}}-k\right|=\left|\frac{\red{n^k}+\left(\sum_{\red{m=1}}^k{k \choose m}n^{k-m}\right)-n^{k}}{n^{k-1}}-k\right|[/mm]
>
> >
> > (Beachte, dass die Anzahl der Summanden nur von k, nicht
> > von n, abhängt,
> > das ist wichtig beim Grenzübergang [mm]n \to \infty\,,[/mm] da
> > nicht in eine Falle zu tappen!)
>
>
> Hallo Marcel,
> [mm]\left|\frac{\red{n^k}+\left(\sum_{\red{m=1}}^k{k \choose m}n^{k-m}\right)-n^{k}}{n^{k-1}}-k\right|[/mm]
> = [mm]|\sum_{m=1}^k \vektor{k\\ m} n^{-m+1}[/mm] -k|
>
> Die Endsummanden der Summe:
> m=1 -> [mm]\vektor{k \\ 1}n^{-1+1}=kn^0=k[/mm]
> m=k -> [mm]\vektor{k \\ k}n^{-k+1}=n^{-k+1}[/mm]
>
> Aber die Summe kann ich nicht durch k abschätzen oder doch
> für k > [mm]\frac{1}{n^{k-1}}[/mm] dh. n > [mm]\wurzel[k-1]{1/k}[/mm]
Schreibe die Summe
[mm] \sum_{m=1}^k{k \choose m}n^{k-m}
[/mm]
doch mal aus und teile durch [mm] n^{k-1} [/mm] !!!
FRED
[mm] \
[/mm]
>
> LG,
> sissi
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Di 11.11.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo
Ich glaub umständlicher kann man es nicht hinschreiben wie ich:
[mm] |\frac{(n+1)^k-n^k}{n^{k-1}}-k|=..=|\sum_{m=1}^k \vektor{k\\ m}n^{-m+1} [/mm] -k| = [mm] |\sum_{m=2}^k \vektor{k\\ m}n^{-m+1}|\le \sum_{m=2}^k| \vektor{k\\ m}n^{-m+1}|= \sum_{m=2}^k|\frac{ \vektor{k\\ m}}{n^{m-1}}|=|\frac{c_1}{n}|+|\frac{c_2}{n^2}|+..+|\frac{c_k}{n^{k-1}}| \le \frac{\epsilon}{k}+\frac{\epsilon}{k}....+\frac{\epsilon}{k} [/mm] = [mm] \epsilon
[/mm]
Ich habe die Binomialkoeffizient jeweils durch Konstanten [mm] c_1,.., c_k [/mm] umbenannt da sie nicht von n abhängen.
LG,
sissile
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Di 11.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
> Ich glaub umständlicher kann man es nicht hinschreiben
> wie ich:
>
> [mm]|\frac{(n+1)^k-n^k}{n^{k-1}}-k|=..=|\sum_{m=1}^k \vektor{k\\ m}n^{-m+1}[/mm]
> -k|
Das ist doch völlig falsch !
FRED
> = [mm]|\sum_{m=2}^k \vektor{k\\ m}n^{-m+1}|\le \sum_{m=2}^k| \vektor{k\\ m}n^{-m+1}|= \sum_{m=2}^k|\frac{ \vektor{k\\ m}}{n^{m-1}}|=|\frac{c_1}{n}|+|\frac{c_2}{n^2}|+..+|\frac{c_k}{n^{k-1}}| \le \frac{\epsilon}{k}+\frac{\epsilon}{k}....+\frac{\epsilon}{k}[/mm]
> = [mm]\epsilon[/mm]
>
> Ich habe die Binomialkoeffizient jeweils durch Konstanten
> [mm]c_1,.., c_k[/mm] umbenannt da sie nicht von n abhängen.
>
>
> LG,
> sissile
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Di 11.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
> Ich glaub umständlicher kann man es nicht hinschreiben
> wie ich:
>
> [mm]|\frac{(n+1)^k-n^k}{n^{k-1}}-k|=..=|\sum_{m=1}^k \vektor{k\\ m}n^{-m+1}[/mm]
> -k| = [mm]|\sum_{m=2}^k \vektor{k\\ m}n^{-m+1}|\le \sum_{m=2}^k| \vektor{k\\ m}n^{-m+1}|= \sum_{m=2}^k|\frac{ \vektor{k\\ m}}{n^{m-1}}|=|\frac{c_1}{n}|+|\frac{c_2}{n^2}|+..+|\frac{c_k}{n^{k-1}}| \le \frac{\epsilon}{k}+\frac{\epsilon}{k}....+\frac{\epsilon}{k}[/mm]
> = [mm]\epsilon[/mm]
>
> Ich habe die Binomialkoeffizient jeweils durch Konstanten
> [mm]c_1,.., c_k[/mm] umbenannt da sie nicht von n abhängen.
Fred hat dazu schon was gesagt - und das [mm] $\epsilon$ [/mm] fällt auch vom Himmel.
Ich mach' mal den *Großteil* der Aufgabe, Du musst das Ganze noch
ein bisschen verpacken. Aber bitte: Nachrechnen!
[mm] $\frac{(n+1)^k-n^k}{n^{k-1}}-k=\frac{-n^k+\sum_{m=0}^k {k \choose m}n^{k-m}*1^m\;\;-\,k*n^{k-1}}{n^{k-1}}=\frac{\sum_{m=\red{1}}^k {k \choose m}n^{k-m}*1^m\;\;-\,k*n^{k-1}}{n^{k-1}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{\sum_{m=\red{1}}^k {k \choose m}n^{k-m}*1^m\;\;-\,{k \choose \green{1}}*n^{k-\green{1}}}{n^{k-1}}=\frac{\sum_{m=\red{2}}^k {k \choose m}n^{k-m}}{n^{k-1}}=\sum_{m=\red{2}}^kc_m*\frac{1}{n^{m-1}}$
[/mm]
Da [mm] $k\,$ [/mm] FEST ist, steht am Ende die Summe von [mm] $(k-2)+1\,$ [/mm] Nullfolgen. (Die
Rechnung )
Achja: Da brauchst Du gar nichts mehr zu verpacken... Sorry. ^^
P.S. Wie passt obige Rechnung eigentlich zum Fall [mm] $k=1\,$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:16 Mi 12.11.2014 | | Autor: | sissile |
Ich traue mich mal zu fragen: Aber was war nun der Fehler an meiner Rechnung, ich hab´s nicht verstanden wieso meine Gleichheit nicht gilt, die im zweiten Post noch niemand zu beanstanden hatte?
Ich hab doch nur das erste Glied der Summe wie du subtrahiert und dann jedes Summenglied durch den Nenner dividiert. Gegen welche Rechenregel verstoße ich da? Ich hab ja nicht aus der Summe gekürzt(a la aus der Summe kürzen die Dummen) sondern jedes einzelne Glied der Summe dividiert. Anscheinend hab ich doch was dummes gemacht..aber was?
LG,
sissi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Fr 14.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:45 So 09.11.2014 | | Autor: | Marcel |
P.S.
> Eine Frage vornweg:
> Sei [mm]b_n[/mm] = [mm]\frac{3n^2 +13n}{n^2+2}[/mm]
> Wenn ich zeige
> [mm]lim_{n->\infy} b_n[/mm] =3 ist der Grenzwert dann nur ein
> potenzieller Grenzwert oder hat man damit schon gezeigt,
> dass die Folge [mm]b_n[/mm] konvergiert=?
Folgende Rechnung zeigt die Existenz des Grenzwertes (an keiner Stelle
braucht man eine "Annahme" der Existenz eines Grenzwertes):
[mm] $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2+13n}{n^2+2}=\lim_{n \to \infty} \frac{n^2*(3+13/n)}{n^2*(1+2/n^2)}=\lim_{n \to \infty} \frac{3+13/n}{1+2/n^2}=\frac{\lim_{n \to \infty}(3+13/n)}{\lim_{n \to \infty}(1+2/n^2)}$
[/mm]
denn die beiden Grenzwerte rechterhand (der im Zähler und der im Nenner)
existieren, der im Nenner ist ungleich 0. (![[]](/images/popup.gif) Satz 5.5, 3. kann angewendet werden).
Diese Behauptung müssen wir aber noch rechtfertigen: Ich zeige nur, dass
der Nenner einen Grenzwert [mm] $\not=0$ [/mm] hat - eine Argumentation für den
Zähler geht analog:
Dies folgt auch mit Satz 5.5 unter Beachtung von $1/n [mm] \to [/mm] 0$ so (Du kannst es
gerne *schrittweise aufbröseln*):
[mm] $\lim_{n \to \infty}(1+2/n^2)=(\lim_{n \to \infty}1)+2*(\lim_{n \to \infty}1/n)^2=1+2*0^2=1$ ($\not=0$)
[/mm]
Vielleicht ist jetzt auch klarer, warum man, wenn man
[mm] $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2+13n}{n^2+2}=3$
[/mm]
beweisen will, sagt, dass man die wirkliche Begründung der Rechnung erst
am Ende macht, und sie sich durch das Lesen von rechts nach links der
Gleichungskette ergibt:
Wenn Du nämlich etwa
[mm] $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim_{n \to \infty}a_n}{\lim_{n \to \infty}b_n}$
[/mm]
schreiben willst, dann geht das ja nur, wenn Du die Existenz von
[mm] $\lim_{n \to \infty}a_n$ [/mm] und [mm] $\lim_{n \to \infty}b_n$ [/mm] hast UND [mm] $\lim_{n \to \infty}b_n \not=0$
[/mm]
gilt.
Gruß,
Marcel
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