Konvergenz allg. Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Sa 09.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
| Aufgabe | | Sei [mm] (a_n) [/mm] eine monoton fallende reelle Zahlenfolge und sei [mm] \sum_{n=1}^{\infty} a_n [/mm] konvergent. Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \sum_{n=1}^\infty (a_n)/(1+a_n) [/mm] konvergiert. |
Hallo,
meine Lösung sähe so aus, ich bin mir nur nicht sicher, ob das so geht:
Mit Wurzelkriterium folgt für [mm] b_n [/mm] := [mm] (a_n)/(1+a_n): [/mm]
[mm] \wurzel[n]{| b_n |} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{|(a_n)/(1+a_n)|} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{|(1)/(1+1/a_n)|} [/mm]
Weil [mm] a_n [/mm] monoton fallend ist, ist [mm] 1/a_n [/mm] divergent. Somit folgt, dass der obige Ausdruck zwischen 0<= q <= 1 liegt und somit ist die Reihe [mm] \sum_{n=1}^\infty b_n [/mm] konvergent.
geht das so??
Danke.
Grüße,
Benjamin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Sa 09.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Sei [mm](a_n)[/mm] eine monoton fallende reelle Zahlenfolge und sei
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} a_n[/mm] konvergent. Zeigen Sie, dass die
> Reihe [mm]\sum_{n=1}^\infty (a_n)/(1+a_n)[/mm] konvergiert.
> Hallo,
> meine Lösung sähe so aus, ich bin mir nur nicht sicher,
> ob das so geht:
>
> Mit Wurzelkriterium folgt für [mm]b_n[/mm] := [mm](a_n)/(1+a_n):[/mm]
>
> [mm]\wurzel[n]{| b_n |}[/mm] = [mm]\wurzel[n]{|(a_n)/(1+a_n)|}[/mm] =
dies = ist falsch!
> [mm]\wurzel[n]{|(1)/(1+1/a_n)|}[/mm]
>
> Weil [mm]a_n[/mm] monoton fallend ist, ist [mm]1/a_n[/mm] divergent.
so formuliert falsch , [mm] a_n [/mm] ist ne Nullfolge,(wegen der Konvergenz von $ [mm] \sum_{n=1}^{\infty} a_n [/mm] $ konvergent monoton fallend ist auch 0,-1,-2,-3...
>Somit
> folgt, dass der obige Ausdruck zwischen 0<= q <= 1 liegt
> und somit ist die Reihe [mm]\sum_{n=1}^\infty b_n[/mm] konvergent.
>
> geht das so??
es ist möglich, das noch richtig hinzukriegen. aber du hast ja gar nicht benutzt, dass $ [mm] \sum_{n=1}^{\infty} a_n [/mm] $ konvergent ist?
Das majorantenkriterium ist einfacher!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 So 10.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Hi,
also, dass ich das jetzt richtig verstanden habe:
Weil die Reihe mit [mm] a_n [/mm] konvergiert, muss [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge sein. daraus folgt wiederum, dass [mm] \wurzel[n]{a_n/(a_n+1)} [/mm] <= q mit 0<= q <1 ist und die dazugehörige Reihe konvergiert.
Richtig?
Danke dir im Voraus!!
Grüße,
Benjamin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 So 10.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
noch nicht ganz richtig.
1. [mm] a_n [/mm] ist eine positive Nullfolge, d.h. [mm] a_n\ge0, [/mm] damit [mm] 1+a_n\ge1 [/mm] und [mm] a_n/(1+a_n)\le a_n, [/mm] und wegen der Monotonie der Wurzelfkt [mm] \wurzel{a_n/(1+a_n)}\le\wurzel{a_n}\le [/mm] q<1 nach Vors ,über die Konv der Summe [mm] a_n.
[/mm]
Aber nochmal, da du ja benutzt [mm] a_n/(1+a_n)\le a_n [/mm] nimm doch gleich das Majorantenkriterium!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:31 So 10.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Stimmt, Majorantenkrit.
Vielen Dank für deine Hilfe!!
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