Konvergenz / alternierend < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Do 20.11.2008 | | Autor: | Amsel81 |
| Aufgabe | Es sei [mm] (a_{n}){n}\varepsilon\IN [/mm] die Folge, deren Glieder durch
[mm] a_{n} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{5} [/mm] - [mm] \bruch{1}{7} [/mm] +...+ [mm] \bruch{(-1)^{n-1}}{2n-1} \forall n\varepsilon \IN
[/mm]
gegeben sind. Untersuchen Sie [mm] (a_{n}){n}\varepsilon\IN [/mm] auf Konvergenz. |
Hi,
habe mit Kommilitonen den gesamten Tag an dieser Aufgabe gehockt. Eigentlich haben wir bereits einen guten Tip erhalten...es hapert aber daran, dass wir 's nicht nachvollziehen können. Daher wäre eine verständliche Erklärung zu dem, was da gemacht werden muss, was das bedeutet und natürlich ein Tipp dazu , wie 's weitergeht ganz große Klasse!
Was wir haben:
Die einzelnen Glieder der Folge alternieren ja offensichtlich. Abwechselnde Vorzeichen weisen ja darauf hin. Nun haben wir die einzelnen "zueinander gehörigen" Glieder voneinander getrennt, also:
[mm] a_{n}_{1}=1+\bruch{1}{5}+...+?
[/mm]
[mm] a_{n}_{2}= -(\bruch{1}{3}+\bruch{1}{7} [/mm] -...- ?)
Die sind jeweils:
[mm] a_{n}_{1}=\summe_{n=1}^{n}\bruch{1}{4n-3}
[/mm]
[mm] a_{n}_{2}=\summe_{n=1}^{n}\bruch{1}{4n-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{n=1}^{n}\bruch{1}{4n-3}-\summe_{n=1}^{n}\bruch{1}{4n-1}
[/mm]
Habe die beiden einzelnen Summen auf Monotonie untersucht und festgestellt, dass die eine monoton fällt und die andere monoton steigt.
Hm...
Warum subtrahiere ich die miteinander? Oder liegt das bloß an dem "-" vor [mm] a_{n}_{2}? [/mm] Dann wären beide zusammen wieder die gegebene Folge?
Warum muss ich die überhaupt voneinander trennen? Reicht es nicht aus zu sehen, dass die Folge alterniert?
Kann man nicht evtl. in der "Ursprungsfolge" einzelne Glieder voneinander abziehen, so dass am Ende was ganz tolles herauskommt?
Ich bin dankbar für jegliche Anregung und hoffe, es sind nicht allzu viele und dumme Fragen. Ich seh' irgendwie noch gar nicht wirklich durch dabei...
Lieber Gruß
Amsel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 Do 20.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Amsel!
Kannst Du schon das ![[]](/images/popup.gif) Leibniz-Kriterium als Konvergenzkriterium für alternierende Reihen?
Eure Folge [mm] $a_n$ [/mm] bzw. deren Grenzwert [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n$ [/mm] lässt sich wie folgt darstellen:
[mm] $$a_n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^{n-1}}{2n-1}$$
[/mm]
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n-1}}{2n-1} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{n-1}*\bruch{1}{2n-1}$$
[/mm]
Diese Reihe konvergiert nun nach dem Leibniz-Kriterium, wenn Du zeigen kannst, dass [mm] $\bruch{1}{2n-1}$ [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:47 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Amsel81 |
Ja, wir hatten Leibniz in der letzten VL, aber der Dozent meinte, dass wir es für diese Serie nicht verwenden dürfen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:00 Fr 21.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Tipp:
untersuche die beiden Teilfolgen [mm] (a_{2n}) [/mm] und [mm] (a_{2n-1}).
[/mm]
Beide sind monoton und beschränkt, also konvergent.
Zeige, dass sie den gleichen Grenzwert haben und folgere daraus, dass [mm] (a_n) [/mm] ebenfalss gegen diesen limes strebt.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Amsel81 |
Danke für Deine Antwort. Tut mir leid, dass ich mich so spät zurückmelde, aber die nächste Serie ist in Arbeit und beansprucht wie immer allerseits Aufmerksamkeit! Würde mich aber gerne nochmal wegen dieser Aufgabe melden....muss ja verstanden werden...und danke Dir erstmal für deine Hilfe!
LG
Amsel
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