Konvergenz bei Potenzreihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Niente |
| Aufgabe | Man bestimme alle $x [mm] \in \IR$, [/mm] für die die folgenden Potenzreihen konvergieren:
(a) [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n}}{2^{n}}$
[/mm]
(b) [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} nx^{n}$
[/mm]
(c) [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n(n+1)}$
[/mm]
(d) [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n}$ [/mm] |
Hallo  ,
Ich hoffe, ich habe die Aufgabe richtig verstanden... habe für x jetzt folgendes gewählt:
Zu a)
Ich setze x:= [mm] \wurzel[n]{\bruch{1}{n^{2}}}
[/mm]
[mm] \bruch{x^{n}}{2^{n}}= \bruch{(\wurzel[n]{\bruch{1}{n^{2}}})^{n}}{2^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^{2}} \bruch{1}{2n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2n n^{2}}
[/mm]
dies lässt sich wie folgt abschätzen:
[mm] \bruch{1}{2n n^{2}} \le \bruch{1}{n^{2}}
[/mm]
Da die Reihe [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] konvergiert, konvergiert nach dem Majorantenkriterium auch die Reihe [mm] \bruch{1}{2n n^{2}}.
[/mm]
Zu (b)
Setze x:= [mm] \wurzel[n]{\bruch{1}{n^{3}}}
[/mm]
dann [mm] nx^{n}= [/mm] n [mm] (\wurzel[n]{\bruch{1}{n^{3}}})^{n} [/mm] = n [mm] \bruch{1}{n^{3}}= \bruch{1}{n^{2}}
[/mm]
Die Reihe [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] konvergiert.
zu (c)
Setze x:= [mm] \wurzel[n]{\bruch{n (n+1)}{n^{2}}}= \wurzel[n]{\bruch{ (n+1)}{n}}
[/mm]
[mm] \bruch{(\wurzel[n]{\bruch{n (n+1)}{n^{2}}})^{n}}{n(n+1)}= \bruch{n (n+1)}{n^{2}} \bruch{1}{n (n+1)}= \bruch{1}{n^{2}}
[/mm]
Die Reihe [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] konvergiert.
(d)
Setze x:= [mm] \wurzel[n]{\bruch{1}{n}}
[/mm]
in [mm] \bruch{x^{n}}{n} [/mm] eingesetzt, ergibt sich dann [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] (also Konvergente Reihe).
Ist das richtig so?? Wenn nicht, würde ich mich freuen, wenn mir jemand erklären könnte, wie ich anders vorgehen muss.
Vielen Dank schon einmal
dann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:12 Sa 17.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Niente
Du darst x nicht durch n bestimmen, denn n geht ja von 1 bis [mm] \infty, [/mm] was soll also x sein?
Du musst Werte, oder Intervalle angeben, in denen x liegen darf.
z.Bsp die erste Reihe konvergiert sicher für [mm] |x|\le1 [/mm] ob noch für mehr x musst du untersuchen. die zweite divergiert sicher für [mm] x\ge1 [/mm] also wenn es x gibt muss es <1 sein
c) konv. noch für x=1 d) divergiert sicher für x [mm] \ge [/mm] 1
Die genaueren Intervalle musst du suchen, das ist die Aufgabe, meine Werte sind nur sichere, nicht unbedingt die noch möglichen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Sa 17.12.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo leduart,
danke für deine Antwort. Gibt es für die x-Bestimmung eigentlich irgendeinen Trick, eine Rechnungshilfe, oder geht das, dass ich das einfach durch ausprobieren bestimme?
Zu a) Habe ich überlegt, dass x in dem Intervall x [-1,1] liegen muss, stimmt das? Muss ich das wenn einfach so dahin schreiben? Wie kann ich das sonst rechnerisch überprüfen?
Zu b) x müsste in dem Intervall [0,1] liegen, damit die Reihe konvergiert.
Zu c) Intervall von [-1,1]
Zu d) Intervall [0, 1 [ weiß nicht, ob die Schreibweise stimmt... meine damit, dass x nicht = 1 sein darf.
Geht das so? Wenn nicht, wie mache ich das und v.a. wie überprüfe ich meine Intervalle (durch eine Art Beweis)?
Danke!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Sa 17.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Niente
a) in deinem Intervall konvergiert die Reihe, aber x darf auch größer sein. und natürlich muss man in Mathe ne Behauptung IMMER beweisen. Der Trick ist häufig das Quotientenkriterium, [mm] a_{n+1}/a_{n}=q<1 [/mm] für n>N
probier das mal aus.
bei b) wenn eine Reihe konvergiert, dann meist auch die alternierende erst recht,
Also versuchs mit Beweis, und damit jemand das korrigieren kann, schreib nicht nur a), b) usw, sondern schreib die Reihe hin, ich hab keine Lust, immer die alten postings wieder aufzumachen, du musst ja nur kopieren.
Deshalb erstmal nix zu b bis d
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Sa 17.12.2005 | | Autor: | AgentLie |
Ich hab die selbe Aufgabe und bin jetzt beispielsweise bei der a) so vorgegangen: [mm] \wurzel[n]{ \bruch{x^{n}}{2^{n}}} [/mm] < q < 1
Fallunterscheidung +/- (weil unter der Wurzel Betragsstriche stehen): Dann komme ich zu den Ergebnissen x > -2q > -2 und x < 2q < 2. Ist das so in der Art richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Sa 17.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Lie
ja, ist richtig,du kannst quotienten oder Wurzelkriterium verwenden. Bei den anderen teilaufgaben ist wahrscheinlich das Quotientenkrit. besser.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Sa 17.12.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo,
Zu a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^{n}}{2^{n}}
[/mm]
durch das Quotientenkriterium erhalte ich:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}= \bruch{x^{n+1}}{2^{n+1}} \bruch{2^{n}}{x^{n}}= [/mm] x [mm] 2^{-1}=\bruch{x}{2} \le [/mm] q <1
gilt für alle x< 2 und x > -2. Das Intervall ist also [-2, 2]
zu b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] n [mm] x^{n}
[/mm]
wie soll ich das hier beweisen? Verstehe nicht, wie ich hier ansetzen kann... hatte ja vermutet, dass das Intervall bei [0,1] liegt.
zu c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^{n}}{n (n+1)}
[/mm]
Habe auch hier das Quotientenkriterium angewandt und erhalte:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}= \bruch{x^{n+1}}{(n+1)(n+2)} \bruch{n (n+1)}{x^{n}}= [/mm] x [mm] \bruch{n}{(n+2)} [/mm] wie kann ich denn jetzt hier von genau ableiten, wo das Intervall liegen müsste? x muss schon mal < 1 sein. Und ich vermute, dass das Intervall von [0,1[ geht. 1 selbst liegt nicht mehr in dem Intervall, weil dann die Reihe gegen unendlich strebt.
zu d) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^{n}}{n}
[/mm]
Nach dem Quotientenkriterium steht dann da:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}= \bruch{x^{n+1}}{(n+1)}\bruch{n}{x^{n}}= [/mm] x [mm] \bruch{n}{n+1}< [/mm] q<1
Komme hier auch nicht weiter. Es lässt sich vermuten, dass das Intervall von [0,1[ geht.
Für jede Hilfe bin ich dankbar!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Sa 17.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Niente
> Zu a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^{n}}{2^{n}}[/mm]
>
> durch das Quotientenkriterium erhalte ich:
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}= \bruch{x^{n+1}}{2^{n+1}} \bruch{2^{n}}{x^{n}}=[/mm]
> x [mm]2^{-1}=\bruch{x}{2} \le[/mm] q <1
> gilt für alle x< 2 und x > -2. Das Intervall ist also [-2,
> 2]
richtig, nur die eckigen Klammern bedeuten das Intervallende gehört dazu , also musst du schreiben x [mm] \in [/mm] (-2,+2) oder -2<x<2
> zu b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] n [mm]x^{n}[/mm]
> wie soll ich das hier beweisen? Verstehe nicht, wie ich
> hier ansetzen kann... hatte ja vermutet, dass das Intervall
> bei [0,1] liegt.
Wieder Quotienten oder Wurzelkriterium: -1<x<1
> zu c) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^{n}}{n (n+1)}[/mm]
> Habe
> auch hier das Quotientenkriterium angewandt und erhalte:
>
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}= \bruch{x^{n+1}}{(n+1)(n+2)} \bruch{n (n+1)}{x^{n}}=[/mm]
> x [mm]\bruch{n}{(n+2)}[/mm] wie kann ich denn jetzt hier von genau
> ableiten, wo das Intervall liegen müsste? x muss schon mal
> < 1 sein. Und ich vermute, dass das Intervall von [0,1[
> geht. 1 selbst liegt nicht mehr in dem Intervall, weil dann
> die Reihe gegen unendlich strebt.
1 ist unentschieden,durch das Quotientenkr. weil q gegen 1 strebt.aber da
[mm][mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^{n}}{n^2} [/mm] konvergiert, konvergiert es auch für 1 nach Majorantenkr. bei -1konv. es weil es ne Leibnizreihe ist.
> zu d) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^{n}}{n}[/mm]
> Nach dem Quotientenkriterium steht dann da:
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}= \bruch{x^{n+1}}{(n+1)}\bruch{n}{x^{n}}=[/mm]
> x [mm]\bruch{n}{n+1}<[/mm] q<1
> Komme hier auch nicht weiter. Es lässt sich vermuten, dass
> das Intervall von [0,1[ geht.
auch hier ist doch q<1 für alle [mm] x\le1 [/mm] und n endlich, für n gegen unendlich geht q gegen 1 also unentschieden, x=1 eingesetzt ist die harmonische Reihe also divergent, x=-1 Leibniz, also konv.
Ich hab das schnell gemacht, also prüf alles noch mal nach! aber das Prinzip solltest du jetzt können.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Sa 17.12.2005 | | Autor: | AgentLie |
Abend nochmal! Bei der c) würde ich jetzt einfach das Wurzelkriterium anwenden. Da wir auf einem anderen Zettel mal bewiesen haben, dass n-te Wurzel(n) und n-te Wurzel(n+1) für n gegen unendlich gegen 1 streben würde man dann auch auf das Intervall (-1,1) kommen. Ist das so in Ordnung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Sa 17.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Lie
> Abend nochmal! Bei der c) würde ich jetzt einfach das
> Wurzelkriterium anwenden. Da wir auf einem anderen Zettel
> mal bewiesen haben, dass n-te Wurzel(n) und n-te
> Wurzel(n+1) für n gegen unendlich gegen 1 streben würde man
> dann auch auf das Intervall (-1,1) kommen. Ist das so in
> Ordnung?
soweit ja, aber 1 und -1 musst du einzeln entscheiden, ob konv oder div. siehe meine vorige Antwort an Niente (warum hast du die nicht gelesen?)
gruss leduart
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