Konvergenz beim Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 So 25.10.2009 | | Autor: | YesWeCan |
| Aufgabe | | Für welche k [mm] \in \IN [/mm] konvergiert das unbestimmte Integral [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{x^2+3}{(2x+2)x^k}} [/mm] |
Hallo,
habe kein Plan was von mir eigentlich gefragt ist....
muss ich erst integrieren, dann Konv.Rad. und den darausschließenden Konv.Bereich berechnen?
Bringt das Licht in die Dunkelheit!
Alex
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 So 25.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Für welche k [mm]\in \IN[/mm] konvergiert das unbestimmte Integral
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{x^2+3}{(2x+2)x^k}}[/mm]
> Hallo,
> habe kein Plan was von mir eigentlich gefragt ist....
> muss ich erst integrieren, dann Konv.Rad. und den
> darausschließenden Konv.Bereich berechnen?
>
> Bringt das Licht in die Dunkelheit!
>
> Alex
Hallo,
für k=0 gehen für x gegen unendlich die Funktionswerte ebenfalls gegen unendlich. Mit dem Hinausschieben der oberen Intervallgrenze wächst also das Integral immer stärker und konvergiert somit nicht.
Für k=1 gehen für große x die Werte von [mm] \bruch{x^2+3}{(2x+2)x^k} [/mm] gegen 0,5. Das Integral wächst damit beim Hinausschieben der Grenzen nahezu konstant an (auch keine Konvergenz).
Für k=2 konvergieren zwar die x-Werte gegen Null, das Integral wächst trotzdem (zwar langsam, aber unaufhaltsam).
Das Ganze läuft sicher auf eine Abschätzung hinaus (man sollte wissen, dass
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x}} [/mm] noch divergiert,
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^2}} [/mm] hingegen konvergiert).
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 So 25.10.2009 | | Autor: | YesWeCan |
die Logik habe ich verstanden aber kann man die Aufgabe nur durch probieren und abschätzen bewältigen?
Kein Verfahren?
|
|
|
| |
|
Hallo YesWeCan,
der Vorschlag ist zumindest der günstigste.
Du kannst aber "ohne weiteres" eine Stammfunktion für ein beliebiges k ausrechnen und mit dieser Stammfunktion dann argumentieren. Nur sieht diese Stammfunktion nicht schön aus und lässt sich nicht schön analysieren. Und da letztlich um die gleiche Fallunterscheidung nicht herumkommst, würde ich den sehr guten Hinweis von abakus umsetzen. Rein logisch ist der Weg dann nicht sehr viel anders wie der über die Stammfunktion.
Gruß,
Martin
|
|
|
|
