Konvergenz bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Untersuchen sie die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n [/mm] auf Konvergenz und absolute Konvergenz.
[mm] a_n=\bruch{i^n^2}{n^2}
[/mm]
Die erste Glieder sind:
i,1/2,i/3,1/4,i/5 ...
Wie geht man da vor?
Also abolute Konvergenz ist schonmal kein Problem, das ist ja dann [mm] 1/n^2, [/mm] was konvergiert.
Welches Kriterium bringt hier was?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:57 Do 09.06.2016 | | Autor: | fred97 |
aus absoluter Konvergenz folgt Konvergenz.
fred
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Danke sehr Fred,
Ich soll folgendes beweisen/widerlegen:
Wenn [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] konvergent ist und [mm] b_n [/mm] konvergent mit Grenzwert [mm] \not= [/mm] 0, so ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n *b_n [/mm] auch konvergent.
(Wichtig: von n=1 bis unendlich und nicht z.b. n=2 usw)
Nun habe ich mir folgendes überlegt:
[mm] b_n=(n+1)/(n-1)
[/mm]
Dadurch wird das erste Glied von der Summe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n *b_n [/mm] undefiniert. (naja, zumindest wenn a "gewöhnlich" gebaut ist)
Sagt das etwas über die Konvergenz aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Do 09.06.2016 | | Autor: | hippias |
Dieses Beispiel ist unbrauchbar, da die Folge [mm] (b_{n})$ [/mm] keine reelle - oder komplexe - Folge ist. Beschränke Dich auf solche Folgen. Welche Vermutung hast Du bezüglich der Richtigkeit der Aussage und warum?
Was die erste Frage mit der zweiten zu tun haben soll, erschliesst sich mir beim besten Willen nicht.
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meine vermutung ist, dass sie stimmt.
warum ist mein Beispiel keine reelle Folge?
naja, die 2. Frage hatte auch nichts mehr mit der ersten zu tun, denn die hat ja Fred ausreichend beantwortet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:59 Do 09.06.2016 | | Autor: | hippias |
> meine vermutung ist, dass sie stimmt.
O.K., dann versuche sie zu beweisen. Nur wieso fängst Du dann damit an Beispiele zu untersuchen?
>
> warum ist mein Beispiel keine reelle Folge?
Weil das Folgeglied [mm] $b_{1}$ [/mm] keine reelle Zahl ist.
>
> naja, die 2. Frage hatte auch nichts mehr mit der ersten zu
> tun, denn die hat ja Fred ausreichend beantwortet.
Es ist Usus in diesem Fall einen neuen Faden zum Behufe besserer Übersichtlichkeit aufzumachen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:36 Do 09.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Danke sehr Fred,
>
> Ich soll folgendes beweisen/widerlegen:
> Wenn [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] konvergent ist und [mm]b_n[/mm]
> konvergent mit Grenzwert [mm]\not=[/mm] 0, so ist
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n *b_n[/mm] auch konvergent.
> (Wichtig: von n=1 bis unendlich und nicht z.b. n=2 usw)
>
> Nun habe ich mir folgendes überlegt:
> [mm]b_n=(n+1)/(n-1)[/mm]
>
> Dadurch wird das erste Glied von der Summe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n *b_n[/mm] undefiniert. (naja, zumindest
> wenn a "gewöhnlich" gebaut ist)
>
> Sagt das etwas über die Konvergenz aus?
1. Wenn man schreibt [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n, [/mm] so geht man (stillschweigend) davon aus, dass alle [mm] a_n [/mm] definiert sind.
2. Obige Aussage ist falsch. Mach Dich also auf die Suche nach einem Gegenbeispiel.
FRED
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