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Konvergenz bestimmen: Bzw. Grenzwert
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:44 Do 10.05.2012
Autor: jackyooo

Aufgabe
Sei die Folge (xn)neN rekursiv definiert durch [mm]x_0 := 0, x_{n+1}:=\frac{(x_n)^2-3}{(2x_n)-4}[/mm]. Zeigen Sie, dass [mm] (X_n)_{n\in\IN} [/mm] konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.


Nabend,

konvergiert bedeutet doch, dass die gleichung bei [mm] \limes_{n \to \infty}x_n [/mm] gegen einen bestimmten Wert geht oder?
Wenn man hier aber [mm] x_n [/mm] ausklammert, folgt:

[mm]\frac{x_n(x_n-\frac{3}{x_n})} {x_n(2-\frac{4}{x_n})}[/mm]
Demnach kürzt sich das erste [mm] x_n [/mm] raus und ex bleibt:

[mm]\frac{x_n-\frac{3}{x_n}}{2-\frac{4}{x_n}}[/mm]

Die jeweiligen Subtrahenten streben gegen 0 und es bleibt [mm] x_n/2. [/mm]

Wenn [mm] x_n [/mm] also unendlich wird, ist doch [mm] f(x_n) [/mm] auch unendlich oder nicht? Demnach konvergiert die Folge doch nicht?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Konvergenz bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:02 Fr 11.05.2012
Autor: reverend

Hallo jackyooo,

da sitzt Du einer Tautologie auf.
Du zeigst, dass [mm] x_{n+1} [/mm] gegen unendlich geht, wenn [mm] x_n [/mm] gegen unendlich geht. Mit andern Worten: Du zeigst nichts.

> Sei die Folge (xn)neN rekursiv definiert durch [mm]x_0 := 0, x_n+_1 := \frac{(x_n)^2-3}{(2_x_n)-4}[/mm].
> Zeigen Sie, dass [mm](X_n)neN[/mm] konvergiert und bestimmen Sie den
> Grenzwert.
>  Nabend,
>  
> konvergiert bedeutet doch, dass die gleichung bei [mm]\limes_{n \to \infty}x_n[/mm]
> gegen einen bestimmten Wert geht oder?

Jawoll.

>  Wenn man hier aber [mm]x_n[/mm] ausklammert, folgt:
>  
> [mm]\frac{x_n(x_n-\frac{3}{x_n})} {x_n(2-\frac{4}{x_n})}[/mm]
>  
> Demnach kürzt sich das erste [mm]x_n[/mm] raus und ex bleibt:
>  
> [mm]\frac{x_n-\frac{3}{x_n}}{2-\frac{4}{x_n}}[/mm]

Ganz richtig.

> Die jeweiligen Subtrahenten streben gegen 0 und es bleibt
> [mm]x_n/2.[/mm]

Moment.
Das gilt nur, wenn [mm] x_n [/mm] gegen unendlich geht. Das weißt Du aber noch nicht.

> Wenn [mm]x_n[/mm] also unendlich wird, ist doch [mm]f(x_n)[/mm] auch
> unendlich oder nicht? Demnach konvergiert die Folge doch
> nicht?

Wenn Deine (nicht benannte und übrigens auch nicht gerechtfertigte) Annahme stimmen würde, dann würde die Folge in der Tat nicht konvergieren. Mit anderen Worten: wenn die Folge nicht konvergiert, konvergiert die Folge nicht.

Geh mal anders dran. Wie überprüft man denn Konvergenz?

Übrigens streben [mm] x_n [/mm] und [mm] x_{n+1} [/mm] natürlich gegen den gleichen Grenzwert, sofern ein Grenzwert existiert. Was muss man dazu überprüfen? Und wie bestimmt man dann den Grenzwert?

Grüße
reverend

PS: Die Lösung hier ist 1. Du musst nur den Weg finden, wie man das bestimmt. ;-)


Bezug
                
Bezug
Konvergenz bestimmen: Noch ein PS
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:03 Fr 11.05.2012
Autor: reverend

Auch 3 könnte eine Lösung sein, hier aber nicht. Wieso nicht?


Bezug
        
Bezug
Konvergenz bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:43 Fr 11.05.2012
Autor: fred97

Tipp: derartige Aufgaben riechen geradezu nach Monotoniekriterium.

FRED

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Bezug
Konvergenz bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Mo 14.05.2012
Autor: jackyooo

Danke schonmal für die Antworten. Berichtigt mich, wenn ich falsch liege.

Die Folge konvergiert, wenn sie in diesem Fall monoton steigend ist sowie beschränkt.

Das Kriterium für Monotonie ist:
für neN gilt: [mm] a_n_+1 \ge a_n [/mm]

Also:
[mm] \frac{x_n^2-3}{2x_n-4} \ge x_n [/mm]

Ich hab versucht, die Gleichung durch pures Umformen zu lösen. Dann komme ich jedoch am Ende auf:

für [mm] x_n [/mm] > 2 gilt:
0 [mm] \ge x_n^2-4x_n+3 [/mm]

Nur was nützt mir das? Ich komme jetzt per PQ Formel auf
[mm] x_1=1 x_2=3 [/mm]
aber habe ich damit nicht die These widerlegt?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:29 Mo 14.05.2012
Autor: MathePower

Hallo  jackyooo,

> Danke schonmal für die Antworten. Berichtigt mich, wenn
> ich falsch liege.
>  
> Die Folge konvergiert, wenn sie in diesem Fall monoton
> steigend ist sowie beschränkt.
>  
> Das Kriterium für Monotonie ist:
>  für neN gilt: [mm]a_n_+1 \ge a_n[/mm]
>  
> Also:
>  [mm]\frac{x_n^2-3}{2x_n-4} \ge x_n[/mm]
>  
> Ich hab versucht, die Gleichung durch pures Umformen zu
> lösen. Dann komme ich jedoch am Ende auf:
>  
> für [mm]x_n[/mm] > 2 gilt:
>  0 [mm]\ge x_n^2-4x_n+3[/mm]
>  
> Nur was nützt mir das? Ich komme jetzt per PQ Formel auf
>  [mm]x_1=1 x_2=3[/mm]
>  aber habe ich damit nicht die These
> widerlegt?  


Nein.

Zunächst hast Du doch:

[mm]0 \ge \left(x_{n}-1\right)*\left(x_{n}-3\right)[/mm]

Der rechsstehende Ausdruck ist nun zu untersuchen,
wann dieser [mm]\le 0[/mm] ist.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Konvergenz bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:30 Mo 14.05.2012
Autor: jackyooo


> Hallo  jackyooo,
>  
> > Danke schonmal für die Antworten. Berichtigt mich, wenn
> > ich falsch liege.
>  >  
> > Die Folge konvergiert, wenn sie in diesem Fall monoton
> > steigend ist sowie beschränkt.
>  >  
> > Das Kriterium für Monotonie ist:
>  >  für neN gilt: [mm]a_n_+1 \ge a_n[/mm]
>  >  
> > Also:
>  >  [mm]\frac{x_n^2-3}{2x_n-4} \ge x_n[/mm]
>  >  
> > Ich hab versucht, die Gleichung durch pures Umformen zu
> > lösen. Dann komme ich jedoch am Ende auf:
>  >  
> > für [mm]x_n[/mm] > 2 gilt:
>  >  0 [mm]\ge x_n^2-4x_n+3[/mm]
>  >  
> > Nur was nützt mir das? Ich komme jetzt per PQ Formel auf
>  >  [mm]x_1=1 x_2=3[/mm]
>  >  aber habe ich damit nicht die These
> > widerlegt?  
>
>
> Nein.
>  
> Zunächst hast Du doch:
>  
> [mm]0 \ge \left(x_{n}-1\right)*\left(x_{n}-3\right)[/mm]
>  
> Der rechsstehende Ausdruck ist nun zu untersuchen,
>  wann dieser [mm]\le 0[/mm] ist.
>  
>
> Gruss
>  MathePower

Das hab ich ja schon für x>2 definiert. Dann ist es [mm] \ge [/mm] 0, nur was sagt mir das jetzt?
Inwiefern hab ich damit einen Beweis erbracht?

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:47 Mo 14.05.2012
Autor: MathePower

Hallo jackyooo,

> > Hallo  jackyooo,
>  >  
> > > Danke schonmal für die Antworten. Berichtigt mich, wenn
> > > ich falsch liege.
>  >  >  
> > > Die Folge konvergiert, wenn sie in diesem Fall monoton
> > > steigend ist sowie beschränkt.
>  >  >  
> > > Das Kriterium für Monotonie ist:
>  >  >  für neN gilt: [mm]a_n_+1 \ge a_n[/mm]
>  >  >  
> > > Also:
>  >  >  [mm]\frac{x_n^2-3}{2x_n-4} \ge x_n[/mm]
>  >  >  
> > > Ich hab versucht, die Gleichung durch pures Umformen zu
> > > lösen. Dann komme ich jedoch am Ende auf:
>  >  >  
> > > für [mm]x_n[/mm] > 2 gilt:
>  >  >  0 [mm]\ge x_n^2-4x_n+3[/mm]
>  >  >  
> > > Nur was nützt mir das? Ich komme jetzt per PQ Formel auf
>  >  >  [mm]x_1=1 x_2=3[/mm]
>  >  >  aber habe ich damit nicht die
> These
> > > widerlegt?  
> >
> >
> > Nein.
>  >  
> > Zunächst hast Du doch:
>  >  
> > [mm]0 \ge \left(x_{n}-1\right)*\left(x_{n}-3\right)[/mm]
>  >  
> > Der rechsstehende Ausdruck ist nun zu untersuchen,
>  >  wann dieser [mm]\le 0[/mm] ist.
>  >  
> >
> > Gruss
>  >  MathePower
>
> Das hab ich ja schon für x>2 definiert. Dann ist es [mm]\ge[/mm] 0,
> nur was sagt mir das jetzt?

Zunächst steht da die umgeformte Ungleichung,.
Daraus ist der Bereich zu bestimmen für den diese Ungleichung wahr ist.


>  Inwiefern hab ich damit einen Beweis erbracht?


Gruss
MathePower


Bezug
                                                
Bezug
Konvergenz bestimmen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:11 Mo 14.05.2012
Autor: jackyooo


> Hallo jackyooo,
>  
> > > Hallo  jackyooo,
>  >  >  
> > > > Danke schonmal für die Antworten. Berichtigt mich, wenn
> > > > ich falsch liege.
>  >  >  >  
> > > > Die Folge konvergiert, wenn sie in diesem Fall monoton
> > > > steigend ist sowie beschränkt.
>  >  >  >  
> > > > Das Kriterium für Monotonie ist:
>  >  >  >  für neN gilt: [mm]a_n_+1 \ge a_n[/mm]
>  >  >  >  
> > > > Also:
>  >  >  >  [mm]\frac{x_n^2-3}{2x_n-4} \ge x_n[/mm]
>  >  >  >  
> > > > Ich hab versucht, die Gleichung durch pures Umformen zu
> > > > lösen. Dann komme ich jedoch am Ende auf:
>  >  >  >  
> > > > für [mm]x_n[/mm] > 2 gilt:
>  >  >  >  0 [mm]\ge x_n^2-4x_n+3[/mm]
>  >  >  >  
> > > > Nur was nützt mir das? Ich komme jetzt per PQ Formel auf
>  >  >  >  [mm]x_1=1 x_2=3[/mm]
>  >  >  >  aber habe ich damit nicht
> die
> > These
> > > > widerlegt?  
> > >
> > >
> > > Nein.
>  >  >  
> > > Zunächst hast Du doch:
>  >  >  
> > > [mm]0 \ge \left(x_{n}-1\right)*\left(x_{n}-3\right)[/mm]
>  >  >  
> > > Der rechsstehende Ausdruck ist nun zu untersuchen,
>  >  >  wann dieser [mm]\le 0[/mm] ist.
>  >  >  
> > >
> > > Gruss
>  >  >  MathePower
> >
> > Das hab ich ja schon für x>2 definiert. Dann ist es [mm]\ge[/mm] 0,
> > nur was sagt mir das jetzt?
>  
> Zunächst steht da die umgeformte Ungleichung,.
>  Daraus ist der Bereich zu bestimmen für den diese
> Ungleichung wahr ist.
>  
>
> >  Inwiefern hab ich damit einen Beweis erbracht?

>
>
> Gruss
>  MathePower
>  

Naja, das gilt für n={1,2,3}. Nur was sagt mir das? Bei n=0 ist die Ungleichung falsch und bei n=4,5,.. ist sie auch falsch.

Bedeutet das nicht, dass bei n>3 die Folge nicht mehr monoton wachsend ist? Das kann ja nicht sein, denn sie ist ja gerade ab dem Wert streng monoton wachsend.

Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenz bestimmen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Mi 16.05.2012
Autor: matux

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