Konvergenz bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Mi 05.06.2013 | | Autor: | gregg |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^3-1}{2k^5+2} [/mm] |
Ich bin momentan dabei zu üben, welches Kriterium ich am besten benutze bei der Bestimmung der Konvergenz.
Habe mich hier für das Majoranten-Kriterium entschieden, weil die Summe in etwa [mm] \bruch{1}{k^2} [/mm] entspricht.
[mm] \bruch{k^3-1}{2k^5+2} \le \bruch{k^3}{2k^5} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2k^2}.
[/mm]
Da [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^l} [/mm] für l [mm] \ge [/mm] 2 (dürfen wir so benutzen) konvergent ist, gilt dies auch für [mm] \bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k^2}. [/mm] Nach dem Majoranten-Kriterium ist somit auch [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^3-1}{2k^5+2} [/mm] konvergent.
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Hallo,
> Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^3-1}{2k^5+2}[/mm]
> Ich bin
> momentan dabei zu üben, welches Kriterium ich am besten
> benutze bei der Bestimmung der Konvergenz.
>
> Habe mich hier für das Majoranten-Kriterium entschieden,
> weil die Summe in etwa [mm]\bruch{1}{k^2}[/mm] entspricht.
Ja: ganz klarer Fall für das Majoran-Kriterium. 
>
> [mm]\bruch{k^3-1}{2k^5+2} \le \bruch{k^3}{2k^5}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2k^2}.[/mm]
>
> Da [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^l}[/mm] für l [mm]\ge[/mm] 2
> (dürfen wir so benutzen) konvergent ist, gilt dies auch
> für [mm]\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k^2}.[/mm]
> Nach dem Majoranten-Kriterium ist somit auch
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^3-1}{2k^5+2}[/mm] konvergent.
Alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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