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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 So 01.11.2009 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:
b) [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}$ [/mm] |
Guten Abend,
Ich habe diese Aufgabe mit dem Wurzelkriterium gelöst:
[mm] $\sqrt[k]{(-1)^{k}}$= [/mm] -1
da gelten muss : [mm] 0
ist diese reihe nicht konvergent...
stimmt diese Lösung?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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Hallo!
> Untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz:
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> b) [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}[/mm]
> Ich habe diese Aufgabe mit dem Wurzelkriterium gelöst:
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> [mm]\sqrt[k]{(-1)^{k}}[/mm]= -1
>
> da gelten muss : [mm]0
>
> ist diese reihe nicht konvergent...
Dein Ergebnis stimmt (kann man sich auch logisch herleiten: Gegen was soll denn $1 + (-1) + 1 + (-1) + ...$ bitte konvergieren?  )
Aber die Anwendung des Wurzelkriteriums... Räusper, hust.
Das Wurzelkriterium besagt, dass [mm] \sum_{k=0}^{\infty}a_{n} [/mm] konvergent ist, wenn
[mm] $\lim_{n\to\infty} [/mm] sup [mm] \sqrt[n]{|a_{n}|} [/mm] < 1$.
Das schlägt bei dir fehl, da
[mm] $\lim_{n\to\infty} [/mm] sup\ [mm] \sqrt[n]{|a_{n}|} [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] sup\ [mm] \sqrt[n]{|(-1)^{n}|} [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] sup\ [mm] \sqrt[n]{1} [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] sup\ 1 = 1$.
Nun weißt du aber lediglich, dass es fehlschlägt, die Konvergenz mit dem Wurzelkriterium nachzuweisen.
Doch glücklicherweise macht das Wurzelkriterium auch eine Aussage dazu, wann deine Reihe nicht konvergiert, nämlich wenn [mm] $\lim_{n\to\infty} [/mm] sup [mm] \sqrt[n]{|a_{n}|} \ge [/mm] 1$ für unendlich viele n, und das ist bei dir ja offensichtlich erfüllt.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 So 01.11.2009 | | Autor: | kushkush |
Hi steppenhahn,
Dankeschön!
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