Konvergenz bestimmung m. 1/lim < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Di 20.03.2007 | | Autor: | Palin |
Hallo Zusammen
ich soll die Kovergenz von
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] (\wurzel{n^2+1} +\wurzel{n}) [/mm] / ( [mm] \wurzel[4]{n^2+n} [/mm] -n)
beweisen und gegebenen fals eine Grenzwert angeben.
Da mir auf anhieb keine geeignete Abschätzung ins Auge gesprungen ist habe ich einfach ein bisschen Rumprobiert und bin dann auf den Kerwert gekommen.
Also
( [mm] \wurzel[4]{n^2+n} -n)/(\wurzel{n^2+1} +\wurzel{n}) [/mm]
Die Abschätzunf nach Oben ist dann recht einfach.
( [mm] \wurzel[4]{n^2+n} -n)/(\wurzel{n^2+1} +\wurzel{n}) [/mm]
< ( [mm] \wurzel[4]{n^2+n} [/mm] -n)/ [mm] \wurzel{n^2} [/mm]
= [mm] \wurzel[4]{(n^2+n)/n^4} [/mm] -1
= [mm] \wurzel[4]{1/n + 1/n^3} [/mm] -1
=> [mm] lim(1/a_{n})=-1
[/mm]
Da soweit ich weis gilt lim(a/b)= lim(a)/lim(b)
Da ich hier ja den [mm] lim(1/a_{n}) [/mm] also lim(1) / [mm] lim(a_{n}) [/mm] =-1
Solte mein [mm] lim(a_{n}) [/mm] =-1 sein.
Zur Verdeutlichung währe mein lim(1/a) = - 1/2 gewesen währe mein lim(a) = -2
Nun zu meinen Fragen.
1.) Ist der lim (1/an) richtig bestimmt, man weiß ja nie.
2.) Kann ich so lim(an) bestimmen und ist es Mathematisch korekt.
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> Hallo Zusammen
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> ich soll die Kovergenz von
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> [mm]a_{n}[/mm] = [mm](\wurzel{n^2+1} +\wurzel{n})[/mm] / ( [mm]\wurzel[4]{n^2+n}[/mm]
> -n)
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> beweisen und gegebenen fals eine Grenzwert angeben.
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> Da mir auf anhieb keine geeignete Abschätzung ins Auge
> gesprungen ist habe ich einfach ein bisschen Rumprobiert
> und bin dann auf den Kerwert gekommen.
> Also
> ( [mm]\wurzel[4]{n^2+n} -n)/(\wurzel{n^2+1} +\wurzel{n})[/mm]
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> Die Abschätzunf nach Oben ist dann recht einfach.
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> ( [mm]\wurzel[4]{n^2+n} -n)/(\wurzel{n^2+1} +\wurzel{n})[/mm]
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> < ( [mm]\wurzel[4]{n^2+n}[/mm] -n)/ [mm]\wurzel{n^2}[/mm]
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> = [mm]\wurzel[4]{(n^2+n)/n^4}[/mm] -1
= [mm]\wurzel[4]{1/n^{\red{2}} + 1/n^3}[/mm] -1
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> => [mm]lim(1/a_{n})=-1[/mm]
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> Da soweit ich weis gilt lim(a/b)= lim(a)/lim(b)
> Da ich hier ja den [mm]lim(1/a_{n})[/mm] also lim(1) / [mm]lim(a_{n})[/mm]
> =-1
> Solte mein [mm]lim(a_{n})[/mm] =-1 sein.
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> Zur Verdeutlichung währe mein lim(1/a) = - 1/2 gewesen
> währe mein lim(a) = -2
>
> Nun zu meinen Fragen.
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> 1.) Ist der lim (1/an) richtig bestimmt, man weiß ja nie.
> 2.) Kann ich so lim(an) bestimmen und ist es Mathematisch
> korekt.
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Hallo Björn,
ich denke, du kannst das so machen, weil deine "neue Kehrwertfolge" nicht gegen Null strebt, also nur endlich viele Folgenglieder = 0 sein können.
Es gibt einen Satz, der besagt, dass für Folgen [mm] (a_n)_n [/mm] und [mm] (b_n)_n [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_n=b [/mm] gilt:
"Ist [mm] b\ne [/mm] 0, so sind fast alle [mm] b_n \ne [/mm] 0 und es gilt: [mm] \bruch{a_n}{b_n}\rightarrow\bruch{a}{b}"
[/mm]
Bezeichne einfach mal deine "Kehrwertfolge" mit [mm] (b)_n, [/mm] so kann man den Satz doch darauf anwenden, denn:
$1 [mm] \rightarrow [/mm] 1$ für [mm] $n\rightarrow \infty$ [/mm] und [mm] $b_n\rightarrow [/mm] -1$ für $n [mm] \rightarrow \infty$ [/mm] , also
[mm] \bruch{1}{b_n}=a_n\rightarrow \bruch{1}{-1}=-1
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 00:29 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Palin |
Hi sorry erstmal das ich deine Antwort als Fehlerhaft gekenzeichnet habe sie ist es meiner Meinung nach nicht.
Mein Problem bei der Sache ist halt nur das ich es vieleicht in meiner Klausur anwenden muss.
Da ich die möglichkeit des "inversen" Limes in keinen Matebuch oder Internetsseite die mir zugänglich ist gefunden habe, bin ich mir halt zimlich unsicher in der Hinsicht.
Irgendwie gibt es immer irgentwelchr ausnahmen die man (Ich) übersehen hat.
Aus meiner annahme würde ja auch Theoretisch folgern lim (1/n) = 0 (Konvergenz) => lin(1(1/n)) =Divergenz.
Ok ich weiß das es richtig ist aber ich find eine Solche aussage in Keinen Mathebuch oder Internetseite (die Mir zugänglich sind).
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Hallo Björn,
in deinem Bsp ist aber [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}=0, [/mm] was ich in meinem post ausgeschlossen habe.
Das ist echt zwingend notwendig, um diesen "Kehrwertsatz" anwenden zu können.
Der Grenzwert der "Nennerfolge" DARF NICHT 0 sein !!!!
Der Satz steht übrigens im Königsberger und in jedem AnaI Sript
Ich wills nochmal genauer aufschreiben:
Also nehmen wir zwei Folgen, die eine [mm] (c_n)_n=(1)_n
[/mm]
recht stumpf, aber diese 1-Folge geht gegen 1 für [mm] n\rightarrow\infty
[/mm]
Als zweite Folge nehmen wir deine "Kehrwertfolge", nenn wir sie [mm] (b_n)_n
[/mm]
Die strebt - wie du nachgewiesen hast- gegen -1 für [mm] n\rightarrow\infty
[/mm]
Also sind doch die Bedingungen des Satzes erfüllt:
[mm] b_n\rightarrow -1\ne [/mm] 0
Damit strebt [mm] \left(\bruch{c_n}{b_n}\right) [/mm] gegen [mm] \bruch{1}{-1}=-1
[/mm]
Und [mm] \left(\bruch{c_n}{b_n}\right) [/mm] ist doch genau deine Ursprungsfolge [mm] (a_n)_n
[/mm]
Nun klar(er)? 
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
ich hab nochmal nen link aufgetan, wo der Satz nebst Beweis drinsteht:
http://www.mi.uni-koeln.de/~gsweers/AnalysisI0607/week6.pdf
Ist glaube ich Lemma 6.2 Teil 4
Kannst ja mal reinschauen, wenn du magst
Gruß
schachuzipus
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