Konvergenz bzgl. Norm < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Fr 08.06.2007 | | Autor: | Nicole20 |
Wie ich die Konvergenz einer Folge oder reihe zeige ist mir klar, aber was muss ich machen wenn ich zeigen muss, dass eine Folge von Funktionen bezüglich einer Norm konvergiert?
Zum Beispiel heir:
[mm] (f_{n}) [/mm] mit n aus [mm] \IN [/mm] sei eine Folge von Funktionen aus C([0,1]) mit [mm] f_{n}(x)=\wurzel{n}x^{n}. [/mm]
So wie zeigt man jetzt, dass diese Folge von Fukntionen kenvergiert bzgl. [mm] \parallel.\parallel_{1}.
[/mm]
Wäre sehr glücklich, wenn mir das jemand erklären könnte.
Mit freundlichen GRüßen
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Ich denke es ist nützlich, eine plausible Vorstellung davon zu haben, gegen welche Funktion aus C([0,1]) diese Funktionenfolge denn wohl konvergieren wird. Du kannst es ja zuerst einmal "punktweise" anschauen. Dann wird vermutlich schnell klar, dass für alle [mm]x\in[0;1[[/mm] gilt, dass [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x) = 0[/mm] ist. Einzig an der Stelle [mm]x=1[/mm] verhält sich die Funktionenfolge (punktweise) nicht so (dort geht sie, im Gegenteil, wie [mm]\sqrt{n}[/mm] gegen [mm]+\infty[/mm]). Dennoch würde ich nun davon ausgehen, dass diejenige Funktion, gegen die diese Funktionenfolge [mm]f_n[/mm] bezüglich der Norm [mm]\parallel\;\;\parallel_1[/mm]konvergiert, die Nullfunktion ist. Falls diese Vermutung zutrifft, solltest Du beweisen können, dass gilt:
[mm]\lim_{n\rightarrow \infty}\parallel f_n-0\parallel_1=0[/mm]
Zu diesem Zweck ersetzt Du einfach die [mm]\parallel\;\;\parallel_1[/mm] Norm durch ihre Definition (als Integral des Betrages ihres Arguments). Die entscheidende Frage ist natürlich, ob das steile Grosswerden der Funktionswerte [mm]f_n(1)[/mm] für [mm]n\rightarrow \infty[/mm] das sonstige schnell gegen [mm]0[/mm] gehen in jedem Teilintervall [mm][0;1-\varepsilon][/mm] dieser Funktionen das Integral im Limes auf einen Wert [mm]>0[/mm] treiben kann -- oder nicht...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Nicole20 |
DAs ist mir so irgendwie nicht klar. :-(
Ich weiß nicht wieso, aber irgendwie erscheint mir das ganz schön schwer....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Sa 09.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Solange man was nurr anstarrt und nicht losrechnet, kommt es einem immer schwer vor. ohne die Norm einzusetzen kann man nix beweisen, genau wie bei normalen Zahlenfolgen, da bist du nur gübter mit der "Norm" warst du aber ganz am Anfang auch nicht!
also muter drauflosrechnen!
Gruss leduart
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> DAs ist mir so irgendwie nicht klar. :-(
> Ich weiß nicht wieso, aber irgendwie erscheint mir das
> ganz schön schwer....
Also das ist so ein "Gefühl", das ist OK. Aber es wäre besser, nicht beim Gefühl stehen zu bleiben, sondern zu versuchen, dessen Ursache genauer zu lokalisieren und in eigenen Worten auf den Punkt zu bringen.
Funktioniert so etwa wie Gesprächspsychotherapie: mindestens so gut wenn nicht besser. Dies erinnert mich an eine Stelle in der Autobiographie von Paul R. Halmos, "I want to be a Mathematician" (Springer 1985), der über seine Erfahrung während des zweiten Weltkriegs schrieb:
"I acquired a small, very small amount of experience as a consulting applied mathematician. My experience told me two lessons. First, a large part of the consultants job is to administer psychotherapy; second, whatever you do, dont solve the problem youre asked about.
As for solving the problem you are brought: 99 times out of 100 thats the wrong thing to do for sure. .. Moral: dont answer the clients question, but, instead, help him formulate it."
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