Konvergenz bzgl. spez. Metrik < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Do 28.06.2007 | | Autor: | Jorgi |
| Aufgabe | Für [mm]x,y \in \mathbb{R} [/mm] sei [mm]d(x,y) = | arctan(x) - arctan(y) |[/mm]
zeige : Die Folge [mm] (x_n)[/mm] mit [mm]x_n = n[/mm] ist eine Cauchy-Folge in [mm] (\mathbb{R},d) [/mm]
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Guten Tag,
also ..hmmm .. anschaulich leuchtet es ein, dass es sich hierbei um eine CF handelt, denn es gilt ja : [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}arctan(x) = \frac{\pi}{2} [/mm]
wahrscheinlich muss man auch damit argumentieren, nur bin ich damit überfordert, es mathematisch zu verpacken :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Do 28.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Sei [mm] \epsilon [/mm] vorgegeben. Da [mm] \arctan(x_{n}) [/mm] gegen pi halbe konvergiert und monoton steigend ist, gilt ab einem N für alle n, k>N, dass | [mm] \arctan(x_{n})-\arctan(x_{k}) [/mm] | = | [mm] \arctan(x_{n})-\bruch{\pi}{2} [/mm] - [mm] \arctan(x_{k}) [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] | [mm] \le [/mm] | [mm] \arctan(x_{n})-\bruch{\pi}{2} [/mm] | + [mm] |\arctan(x_{k}) [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{2}|.
[/mm]
Gruß,
dormant
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