Konvergenz der Folge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Lolita |
Hallo alle zusammen!
Ich hab ein Problemchen mit der folgenden Aufgabe:
Gegeben seien eine gegen 5 konvergierende Folge reeler Zahlen [mm] \left( \ a_n \right)_{n\in\IR} [/mm] und eine Nullfolge reeler Zahlen [mm] \left( \ b_n \right)_{n\in\IR} [/mm]. Man muss bestimmen, ob die Folge [mm] \left( \ c_n \right)_{n\in\IR} [/mm] mit [mm] \left( \ c_n \right) = a_n^{b_n} [/mm] konvergiert.
"Folgen und Konvergenz" haben wir erst angefangen, so bin ich mit dem Thema noch nicht ganz vertraut:(
Meine Gedanken zur Lösung sind folgende:
ich vermute, dass der Grenzwert [mm] c = 1 [/mm] also [mm] c = 5^0 = 1 [/mm] ist. Also muss ich zeigen, dass [mm] \left| c_n -c \right| = \left| a_n^{b_n} - a^{b} \right| < \varepsilon [/mm] ist.
Hier weiß ich aber nicht, wie ich es durchführen soll. Könntet ihr mir bitte damit helfen bzw vielleicht einige Tipps für einen anderen Beweisanfang geben?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Lolita,
da gibts mehrere Möglichkeiten...
Ich würde so vorgehen:
Als erstes beweisen, dass es einen Grenzwert c > 0 geben muss.
Dann gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n^{b_n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n^{-b_n}
[/mm]
weil [mm] (b_n) [/mm] und [mm] (-b_n) [/mm] beides Nullfolgen sind und die Exponentialfunktion [mm] a^{x} [/mm] stetig, bzw. die Potenzfunktion [mm] x^{b} [/mm] stetig ist.
Aus der Existenz des Limes folgt
c = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n^{b_n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n^{-b_n} [/mm] = 1/c
und aus c = 1/c folgt, dass c = 1 oder c = -1 sein muss.
Das als Idee, die Epsilontik müsstest Du wohl etwas ausführlicher gestalten.
Gruß Richard
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