Konvergenz der Reihe... < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 Do 13.11.2008 | | Autor: | Shelli |
| Aufgabe | | Seien [mm] a_{1}, a_{2},...,a_{n},... [/mm] beliebige Elemente der Menge {0,1,...,q-1}. Zeige die Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}q^{-n}. [/mm] |
Hallo!
Bin gerade total verzweifelt. Mit welchem Kriterium kann ich am besten die Konvergenz beweisen.
Bin vertraut mit Quotienten- und Majorantenkriterium, aber irgendwie kriege ichs nicht auf die Reihe. Ein Ansatz oder ne Lösung, die gut nachzuvollziehen ist, wäre super!
Brauche das Ganze bis morgen, deshalb gebt mir bitte keine Ansätze, mit denen ich nichts anfangen kann. Bin euch nicht böse, wenn ihr einen Teil der Lösung verratet.  Vielen vielen Dank schonmal!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Do 13.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien [mm]a_{1}, a_{2},...,a_{n},...[/mm] beliebige Elemente der
> Menge {0,1,...,q-1}.
dabei soll wohl $q [mm] \in \IN$ [/mm] gelten.
> Zeige die Konvergenz der Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}q^{-n}.[/mm]
> Hallo!
> Bin gerade total verzweifelt. Mit welchem Kriterium kann
> ich am besten die Konvergenz beweisen.
> Bin vertraut mit Quotienten- und Majorantenkriterium, aber
> irgendwie kriege ichs nicht auf die Reihe.
dann starte doch so: Weil $0 [mm] \le a_n \le [/mm] q-1$ für alle $n [mm] \in \IN\,,$ [/mm] gilt
[mm] $$\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}q^{-n} \le \summe_{n=1}^{\infty} (q-1)q^{-n}=(q-1)\summe_{n=1}^{\infty} q^{-n}\,.$$
[/mm]
Im Falle $q=1$ ist alles klar. Im Falle $q [mm] \in \IN \setminus\{1\}\,:$ [/mm]
Oben hat man eine konvergente Majorante, man denke an die ![[]](/images/popup.gif) geometrische Reihe (bea.: [mm] $q^{-n}=(1/q)^n$). [/mm]
(P.S.: Bei mir ist $0 [mm] \notin \IN\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Do 13.11.2008 | | Autor: | Shelli |
Okay super danke! Das hilft mir auf jeden Fall schonmal ein wenig weiter.
Für den Fall, dass q=1 ist, konvergiert die Reihe dann gar nicht oder? Das hab ich nicht ganz verstanden. Dann wird der Term rechts 0, aber der Term links ist [mm] \not= [/mm] 0.
Für denn Fall das [mm] q\not=1 [/mm] kann ich dann einfach die Reihe mithilfe der geometrischen Reihe (meine Majorante) abschätzen und sagen, dass sie konvergent ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Do 13.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay super danke! Das hilft mir auf jeden Fall schonmal ein
> wenig weiter.
>
> Für den Fall, dass q=1 ist, konvergiert die Reihe dann gar
> nicht oder? Das hab ich nicht ganz verstanden. Dann wird
> der Term rechts 0, aber der Term links ist [mm]\not=[/mm] 0.
doch, dann steht dort auf beiden Seiten eine [mm] $\black{0}\,.$ [/mm] Ist Dir das nicht klar? Ich meine: Dann sind alle [mm] $a_n \in \{0\}\,,$ [/mm] also [mm] $a_n=0$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Dann ist sicher auch [mm] $\sum_{n=1}^\infty a_nq^{-n}=\sum_{n=1}^\infty 0*q^{-n}=\sum_{n=1}^\infty 0=0\,.$
[/mm]
> Für denn Fall das [mm]q\not=1[/mm] kann ich dann einfach die Reihe
> mithilfe der geometrischen Reihe (meine Majorante)
> abschätzen und sagen, dass sie konvergent ist?
Weil wir eine konvergente Majorante für Deine Reihe gefunden haben (und für $q [mm] \in \IN \setminus\{1\}$ [/mm] ist $0 < (1/q) < [mm] 1\,,$ [/mm] also konvergiert [mm] $\sum_{n=1}^\infty q^{-n}=\sum_{n=1}^\infty (1/q)^{n}$), [/mm] konvergiert die Reihe nach dem Majo-Krit..
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
