Konvergenz der Reihe prüfen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2+(-1)^{n}}{2^{n-1}} [/mm] soll ein Beispiel für eine Reihe sein, bei der das Quotientekriterium versagt, aber das Wurzelkriterium nicht. |
Mein Problem ist leider nur, das bei mir das Quotientenkriterium hinhaut.
[mm] \vmat{\bruch{2+(-1)^{n+1}}{2^{n}} / \bruch{2+(-1)^{n}}{2^{n-1}}}
[/mm]
(Sorry aber ich weiss nicht, wie man hier einen Doppel Bruch schreibt)
= [mm] \bruch{2+(-1)^n \cdot 2^{n-1}}{2^n \cdot 2+(-1)^{n}}
[/mm]
= [mm] \bruch{2+(-1)^n \cdot 2^{n}}{2^n \cdot 2+(-1)^{n} \cdot 2 }
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] < 1
Also konvergiert die Reihe doch nach dem Quotientenkriterium. Jedoch sollte sie dies nicht tun.
Wo liegt hier mein Fehler ?
Vielen dank schonmal
mfg. Hellsing
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 Mi 29.02.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hellsing!
> = [mm]\bruch{2+(-1)^{ \cdot 2^{n-1}}{2^n \cdot 2+(-1)^{n}}[/mm]
Hier fehlen schonmal entscheidende Klammern:
[mm]\bruch{\left[2+(-1)^{n+1}\right] \cdot 2^{n-1}}{2^n \cdot \left[2+(-1)^{n}\right]}[/mm]
Und den Exponenten bei einer $(-1)_$ hast Du auch mal ebenso verwandelt.
> = [mm]\bruch{2+(-1)^n \cdot 2^{n}}{2^n \cdot 2+(-1)^{n} \cdot 2 }[/mm]
Hier erweiterst Du nur jeweils Teile in Zähler und Nenner (evtl. auch auf die fehlenden Klammern zurückzuführen).
Gruß
Loddar
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Naja, die (-1) habe ich nicht einfach so verschwienden lassen denn (betrachten wir nur mal den Oberen bruch).
[mm] |\bruch{2+(-1)^{n+1}}{2^{n}}|
[/mm]
= [mm] |{\bruch{[2+(-1)^{n}]* (-1)}{2^{n}}}|
[/mm]
Aber wenn man die Beträge auflöst wird daraus doch
= [mm] \bruch{2+(-1)^{n}}{2^{n}}
[/mm]
Das haben wir zumindesten immer so gemacht. Und wenn ich dies nicht mache, krieg ich etwas negatives, nämlich -1/2 was ja auch nicht sein kann. Aufjedenfall krieg ich immer 1/2 raus.
Nochmal zu etwas anderem.
Ich hab jetz mal das Wurzelkriterium gemacht:
[mm] \wurzel{\bruch{2+(-1)^{n}}{2^{n-1}}} [/mm]
= [mm] \wurzel{\bruch{2+(-1)^{n}}{2^{n}*\bruch{1}{2}}} [/mm]
= [mm] \wurzel{\bruch{2+(-1)^{n}*2}{2^{n}}} [/mm]
= [mm] \bruch{\wurzel{2+(-1)^{n}}*\wurzel{2}}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{\wurzel{2}*\wurzel{1}}{2} \le \bruch{\wurzel{2+(-1)^{n}}*\wurzel{2}}{2} \le \bruch{\wurzel{2}*\wurzel{3}}{2}
[/mm]
Da die n-te Wurzel gegen 1 konvergiert, für [mm] n\to\infty [/mm] konvergiert das ganze nach dem Quetschlemma gegen [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Stimmt das den wenigstens ?
Das würde dann mit meinem Quotientenkriterium übereinstimmen.
Also bei dem ersten komm ich einfach nicht drauf, wieso das nicht gehen soll.
Ob mit oder ohne klammern (da sich ja eh alles wegkürzt).
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Hallo,
hast du schon einmal etwas von der guten alten Regel
Punkt- vor Strichrechnung
gehört? 
Die gilt auch heutzutage noch. Möchte man dennoch anders rechnen, so muss man zwangsläufig geeignete Klammern setzen. Das hast du auch bei deinem Versuch in Sachen Wurzelkriterium vergessen. Richtig muss das so aussehen:
[mm] \wurzel[n]{\bruch{2+(-1)^n}{2^{n-1}}}=\wurzel[n]{\bruch{\left(2+(-1)^n\right)*2}{2^n}}
[/mm]
Und jetzt rechne da nochmal weiter.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:29 Do 01.03.2012 | | Autor: | fred97 |
Wie wäre es, wenn Du, wegen [mm] (-1)^n [/mm] , Fallunterscheidungen machst ?
Setzen wir
[mm] a_n:= \bruch{2+(-1)^{n}}{2^{n-1}}, q_n:=|\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] und [mm] w_n:= \wurzel[n]{|a_n|}. [/mm]
Nun überzeuge Dich von:
[mm] q_n= \bruch{1}{6}, [/mm] falls n gerade und [mm] q_n= \bruch{3}{2}, [/mm] falls n ungerade.
Ebenso:
[mm] w_n= \bruch{\wurzel[n]{6}}{2}, [/mm] falls n gerade und [mm] w_n= \bruch{\wurzel[n]{2}}{2}, [/mm] falls n ungerade.
FRED
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Okay das mit den Klammern sehe ich ein, da hab ich mich irgendwie vertan.
Ich mache dann mal bei dem Ausdruck hier weiter:
[mm] \bruch{\left[2+(-1)^{n+1}\right] \cdot 2^{n-1}}{2^n \cdot \left[2+(-1)^{n}\right]}
[/mm]
= [mm] \bruch{2+(-1)^{n+1}}{\left[2+(-1)^{n}\right]\cdot2}
[/mm]
= [mm] \bruch{2+(-1)^{n+1}}{4+(-1)^{n}*2}
[/mm]
Wenn ich nun eine Fallunterscheidung mache, (wie Fred vorgeschlagen hat), dann erhalte ich ebend 1/6 bzw. 3/2 jenachdem ob n-grade bzw. ungerade ist.
Jetz zurück zum Wurzelkriterium:
[mm] \wurzel[n]{\bruch{2+(-1)^n}{2^{n-1}}}=\wurzel[n]{\bruch{\left(2+(-1)^n\right)\cdot{}2}{2^n}}
[/mm]
= [mm] \wurzel[n]{\bruch{(4+2*(-1)^n)}{2^n}}
[/mm]
= [mm] \bruch{\wurzel[n]{(4+2*(-1)^n)}}{2}
[/mm]
Wenn n- grade ist erhält man:
[mm] \bruch{\wurzel[n]{6}}{2} \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{2}
[/mm]
n-ungrade
= [mm] \bruch{\wurzel[n]{2}}{2} \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{2}
[/mm]
Somit ist sie nur nach dem Wurzelkrieterium Konvergent. Mir ist nun auch klar warum ich die Klammern brauche und sich die (-1) nicht einfach durch die Beträge auflöst.
So ist das jetz aber hoffentlich richtig oO
Nur das mit dem Wurzelkriterium leuchtet mir noch nicht so ganz ein, denn
es gilt doch [mm] \wurzel{a*b}=\wurzel{a}*\wurzel{b}, [/mm] und somit war mein Wurzelkriterium doch richtig oder nicht ?
Denn wenn ich
[mm] \bruch{\wurzel[n]{2}\cdot{}\wurzel[n]{1}}{2} \le \bruch{\wurzel[n]{2+(-1)^{n}}\cdot{}\wurzel[n]{2}}{2} \le \bruch{\wurzel[n]{2}\cdot{}\wurzel[n]{3}}{2}
[/mm]
Wieder zusammenfasse, erhalte ich:
[mm] \bruch{\wurzel[n]{2}}{2} \le \bruch{\wurzel[n]{2+(-1)^{n}}\cdot{}\wurzel[n]{2}}{2} \le \bruch{\wurzel[n]{6}}{2}
[/mm]
Vielen dank nochmal, und auch danke dafür das ihr soviel Gedult mit mir habt :)
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Hallo,
ich denke, dein Resultat war (für dich) in Ordnung, aber der Weg eben nicht. Und wie heißt es so schön: Der Weg ist das Ziel. Aber auch bei der Abschätzung am Schluss standen größtenteils Quadratwurzeln, und das ist halt falsch...
Meiner Ansicht nach würde sogar die Abschätzung nach oben genügen, die 3 im Zähler ergibt ja eine konvergente Majorante. Aber so bist du jetzt nach unten auch abgesichert. 
Gruß, Diophant
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