Konvergenz des Integrals < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Sa 01.03.2008 | | Autor: | koko |
hallo leute
hab da mal eine wichtige frage zu einer aufgabe.
[mm] \integral_{0}^{\infty} \bruch{1}{cosh(x)} [/mm] dx
soll auf konvergenz überprüft werden.
wie stelle ich das nun an, damit ich das nachweisen kann.
ich habs mal so probiert:
[mm] \bruch{1}{cosh(x)}=\bruch{1}{e^x+e^{-x})}\ge\bruch{1}{\left| 2*e^x \right|}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{\left|2*e^x \right|}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral_{0}^{\infty} \bruch{1}{cosh(x)}, dx=\limes_{x\rightarrow\infty}-\bruch{e^{-x}}{2}=0
[/mm]
und somit ist dieses uneigentliche integral konvergent.
stimmt das???
vorallem wie ist die vorgehensweise, richtig so wie ich es gemacht habe oder totaler unsinn......wahrscheinlich ist sie falsch....mach das auch zum ersten mal.......
oder kann man das auch anders machen....???
aber ich würde mich freuen wenn mir jemand dabei behilflich sein könnte dieses problem zu lösen....tipps. etc. würde ich natürlich dankend annehmen...
danke im voraus
mfg koko
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> hallo leute
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> hab da mal eine wichtige frage zu einer aufgabe.
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> [mm]\integral_{0}^{\infty} \bruch{1}{cosh(x)}[/mm] dx
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> soll auf konvergenz überprüft werden.
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> wie stelle ich das nun an, damit ich das nachweisen kann.
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> ich habs mal so probiert:
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> [mm]\bruch{1}{cosh(x)}=\bruch{1}{e^x+e^{-x})}\ge\bruch{1}{\left| 2*e^x \right|}[/mm]
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> [mm]\Rightarrow \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{\left|2*e^x \right|}=0[/mm]
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> [mm]\Rightarrow \integral_{0}^{\infty} \bruch{1}{cosh(x)}, dx=\limes_{x\rightarrow\infty}-\bruch{e^{-x}}{2}=0[/mm]
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> und somit ist dieses uneigentliche integral konvergent.
>
>
> stimmt das???
Hallo,
nein, das ist nicht richtig.
In Deiner Art argumentierend wüßtest Du nun, daß das uneigentliche Integral, sofern es existiert, großer als 0 ist - das ist jetzt nicht so der Hammer...
Man würde sich beim Abschätzen hier wenn, dann ja für eine obere Schranke interessieren.
Aber das Integral läßt sich doch berechnen, oder?
Zu prüfen wäre die Existenz von
[mm] \limes_{a\rightarrow\infty}\integral_{0}^{a} \bruch{1}{cosh(x)}dx.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Sa 01.03.2008 | | Autor: | koko |
hallo angela
wie meinst du das, ich komm nicht----
wie weise ich die konvergenz nach oder eben die divergenz......und wie berehcne ich dieses integral???
danke
mfg koko
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Hallo koko,
du kannst dieses Integral explizit berechnen:
Es ist ja [mm] $\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
[/mm]
Also [mm] $\frac{1}{\cosh(x)}=\frac{2}{e^x+e^{-x}$
Damit hast du das Integral $\int\limits_0^{a}{\frac{2}{e^x+e^{-x}} \ dx}=2\cdot{}\int\limits_0^{a}{\frac{1}{e^x+e^{-x}} \ dx}$
Nun erweitere mal mit $e^x$, dann bekommst du:
$2\int\limits_0^{a}{\frac{\blue{e^x}}{\blue{e^x}\cdot{}\left(e^x+e^{-x}}\right)} \ dx}=2\int\limits_0^{a}{\frac{e^x}{e^{2x}+1} \ dx}$
[/mm]
Nun substituiere [mm] $u:=e^x$
[/mm]
Damit solltest du das Integral explizit berechnen können, dann die Grenzen einsetzen und [mm] $\lim_{a\to\infty}$ [/mm] davon berechnen
LG
schachuzipus
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