Konvergenz durch Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Di 11.03.2008 | | Autor: | very |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Folge (an)n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{3^n-n}
[/mm]
Beweisen Sie die Konvergenz von [mm] (a_n)_{n \in \IN}.
[/mm]
Hinweis: Zeigen Sie per vollständiger Induktion, dass [mm] 3^{n} \ge [/mm] 2n [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN. [/mm] Was nützt dies beim Beweis der Konvergenz? |
Guten Tag erstmal!
Für Prüfungsvorbereitung sitze ich (u.a.)an dieser Aufgabe und finde keine ordentliche vollständigen Induktion. Natürlich habe ich mir sämtliche Beispiele im Internet angeschaut, aber ich komme trotzdem nicht weiter :(
Mein bisheriger Ansatz:
Induktionsansatz: n=1
[mm] 3^{1} \ge [/mm] 2 [mm] \* [/mm] 1 stimmt
Induktionsvorraussetzung:
[mm] 3^{n+1} \ge [/mm] 2 [mm] \* [/mm] (n+1)
[mm] 3^{n+1} \ge [/mm] 2n +2
... und nun?
und was hat das mit Konvergenz zu tun?
Es wäre super, wenn mir da jemand weiter helfen könnte.
Besten Dank! Very
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Betrachten Sie die Folge (an)n [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]a_n[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{3^n-n}[/mm]
>
>
> Beweisen Sie die Konvergenz von [mm](a_n)_{n \in \IN}.[/mm]
>
> Hinweis: Zeigen Sie per vollständiger Induktion, dass [mm]3^{n} \ge[/mm]
> 2n [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN.[/mm] Was nützt dies beim Beweis der
> Konvergenz?
> Guten Tag erstmal!
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Zu zeigen ist also:
Es gilt [mm] 3^n \ge [/mm] 2n für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
> Mein bisheriger Ansatz:
> Induktionsansatz: n=1
> [mm]3^{1} \ge[/mm] 2 [mm]\*[/mm] 1 stimmt
> Induktionsvorraussetzung:
Bei der Induktionsvoraussetzung nimmt man an, daß die Beh. für alle n gilt.
Also
Induktionsvoraussetzung:
Es ist [mm] 3^n \ge [/mm] 2n für alle [mm] n\in \IN
[/mm]
Im Induktionsschluß ist zu zeigen, daß unter dieser Voraussetzung die Behauptung auch für n+1 stimmt.
Also
Zu zeigen: dann gilt
> [mm]3^{n+1} \ge[/mm] 2 [mm]\*[/mm] (n+1)
für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
Beweis:
Es ist
[mm] 3^{n+1}=3*3^n \ge [/mm] ...
Nun mußt Du die Induktionsvoraussetzung ins Spiel bringen und geschickt so abschätzen, daß am Ende [mm] ...\ge [/mm] 2(n+1) dasteht.
> und was hat das mit Konvergenz zu tun?
Du kannst dieses Ergebnis zum Nachweis der Konvergenz Deiner Folge nutzen.
Es ist [mm] 0\le \bruch{1}{3^n-n},
[/mm]
und weil [mm] 3^n\ge [/mm] 2n weißt Du: [mm] \bruch{1}{3^n-n}\le \bruch{1}{2n-n}.
[/mm]
Nun den Grenzwert auf die Ungleichung loslassen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Di 11.03.2008 | | Autor: | very |
Vielen lieben Dank zunächst für die flotte Antwort!
Dennoch muss ich zugeben, dass ich mit diesem Thema dermaßen auf Kriegsfuß stehe, dass ich das einfach nciht so schnell kapiere.
Was ich jedoch schon gelernt habe: Man darf nicht einfach einmal n=1 und dann n=1+1 einsetzen und wenn es dann klappt, ist es bewiesen (so hab ich das bisher immer gemacht *g*).
Ich verstehe, dass ich $ [mm] 3^{n+1}=3\cdot{}3^n \ge [/mm] $ auf der einen Seite ummodeln muss, und auf der anderen Seite " die Induktionsvoraussetzung ins Spiel bringen und geschickt so abschätzen, daß am Ende $ [mm] ...\ge [/mm] $ 2(n+1) dasteht. "
Leider bin ich nicht so gut im geschickt Abschätzen...
Kannst Du mir bitte da noch mal auf die Sprünge helfen?
Danke!
Was die Konvergenz angeht, das denke ich habe ich verstanden :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Di 11.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich weiß nicht, warum Du da etwas von $n=1$ und $n=1+1$ schreibst, davon hat Angela nirgends gesprochen und mir ist unklar, was Du damit meinst. Also mal zu dem Induktionsbeweis:
Induktionsbehauptung:
[mm] $3^n \ge [/mm] 2n$ für alle $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Induktionsstart: $n=1$:
Es gilt [mm] $3^1 \ge [/mm] 2*1 [mm] \gdw [/mm] 3 [mm] \ge [/mm] 2$, und letzteres ist offensichtlich korreokt, impliziert also [mm] $3^1 \ge [/mm] 2*1$. Induktionsstart funktioniert.
Zu dem Induktionsschritt:
Wir nehmen nun an, dass für ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm] $(\*)$ $3^n \ge [/mm] 2n$ gilt.
Zu zeigen ist, dass dann [mm] $(\*)$ [/mm] auch gilt, wenn man $n$ durch $n+1$ ersetzt, d.h. zu zeigen ist, dass für $n [mm] \in \IN$ [/mm] so, dass [mm] $(\*)$ [/mm] gilt, dann auch die Ungleichung
[mm] $(\*\*)$ $3^{n+1} \ge [/mm] 2*(n+1)$ gilt.
Also:
$n [mm] \mapsto [/mm] n+1$:
Es gilt:
[mm] $3^{n+1} [/mm] = [mm] 3*3^n$
[/mm]
Nun kannst Du benutzen, dass wegen [mm] $(\*)$ $3^n \ge [/mm] 2n$ gilt:
Also folgt:
[mm] $3^{n+1}=3*3^n \ge [/mm] 3*2n$
Hinreichend ist es nun, zu begründen, dass für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, dass $3*2n [mm] \ge [/mm] 2*(n+1)$, denn dann haben wir die Ungleichungskette
[mm] $3^{n+1}=3*3^n \ge [/mm] 3*2n [mm] \ge [/mm] 2*(n+1)$ gezeigt, also insbesondere
[mm] $3^{n+1} \ge [/mm] 2*(n+1)$, also [mm] $(\*\*)$
[/mm]
Ich überlasse Dir nun die (einfache) Aufgabe, zu beweisen, dass für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
$3*2n [mm] \ge [/mm] 2*(n+1)$
Tipp:
Dazu benötigst Du keine Induktion, mache einfach ein paar Äquivalenzumformungen bis Du zu der, für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] offensichtlich richtigen, Ungleichung $4n [mm] \ge [/mm] 2$ gelangst (beachte: $n [mm] \in \IN \Rightarrow [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 4n [mm] \ge [/mm] 4 [mm] \ge [/mm] 2$).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:54 Di 11.03.2008 | | Autor: | very |
Jawoll, jetzt habe ich das mit der Ungleichskette verstanden!
Jippie! :D
Nun zu dem noch ausstehenden Beweis, der die Kette komplett macht:
$ [mm] 3\cdot{}2n \ge 2\cdot{}(n+1) [/mm] $
durch einfaches Ausmultiplizieren erhalte ich
6n [mm] \ge [/mm] 2n + 2 , also
4n [mm] \ge [/mm] 2 und das ist mit Natürlichen Zahlen natürlich zwingend richtig.
Danke danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Di 11.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Betrachten Sie die Folge (an)n [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]a_n[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{3^n-n}[/mm]
>
>
> Beweisen Sie die Konvergenz von [mm](a_n)_{n \in \IN}.[/mm]
>
> Hinweis: Zeigen Sie per vollständiger Induktion, dass [mm]3^{n} \ge 2n[/mm]
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN.[/mm] Was nützt dies beim Beweis der
> Konvergenz?
vielleicht noch eine kleine Anmerkung:
Angela hat Dir geschrieben, dass Du aus dem zu zeigenden folgern kannst, dass für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm] $\frac{1}{3^n-n}\le \frac{1}{n}$
[/mm]
Diese Abschätzung, für sich genommen, würde Dir erstmal nicht besonders viel bringen, man hätte sozusagen "nur" eine obere Schranke (hier: $0$), aber wer sagt, dass die Folge [mm] $\left(\frac{1}{3^n-n}\right)_{n \in \IN}$ [/mm] nicht "unterhalb dieser Schranke" verrückt spielt und vielleicht gar divergiert? Oder gegen [mm] $-\infty$ [/mm] strebt?
Dass das nicht der Fall ist, erkennt man auch ganz leicht, denn:
Glücklicherweise wird es Dir sicherlich auch gelingen, zu begründen, dass für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] zudem [mm] $3^n-n [/mm] > 0$ und damit auch [mm] $\frac{1}{3^n-n} [/mm] > 0$ gilt, das heißt:
Für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
$0 < [mm] \frac{1}{3^n-n} \le \frac{1}{n}$
[/mm]
Und mit dem Einschließkriterium kommst Du dann weiter (man kann linkerhand die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] durch [mm] $a_n:=0$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] betrachten, d.h.:
Mit den Folgen [mm] $(a_n)_n$, $(b_n)_n$ [/mm] und [mm] $(c_n)_n$, [/mm] welche durch
[mm] $a_n:=0$, $b_n:=\frac{1}{3^n-n}$ [/mm] und [mm] $c_n:=\frac{1}{n}$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] definiert sind, steht oben:
[mm] $a_n [/mm] < [mm] b_n \le c_n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$, [/mm] welches insbesondere
[mm] $a_n \le b_n \le c_n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] beinhaltet. Und trivialerweise gilt [mm] $a_n \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$, [/mm] und der Rest ist Dir dann hoffentlich mit dem Einschließkriterium etc. klar.).
Gruß,
Marcel
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