Konvergenz durch Vergleich < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Fr 06.11.2015 | | Autor: | sae0693 |
| Aufgabe | Man untersuche auf Konvergenz durch Vergleich mit bekannten Reihen (Aufg. a und b), bzw. mit Hilfe des Quotientenkriteriums (Aufg. c und d).
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}+1}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=3}^{\infty} \bruch{k+2}{k^{2}-4}
[/mm]
c) ...
d) ... |
Mir bekannte Reihen sind: alternierend, geometrisch, arithmetisch, kon- und divergierend, harmonisch.
Ebenfalls haben wir das Leibniz-Kriterium durchgeführt. Die Erklärungen von meinem Prof. sind jedoch völlig Wirrwarr.
Wie gehe ich da ran?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Fr 06.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Hi! Du kannst die Reihenglieder [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}+1} [/mm] durch das Majorantenkriterium abschätzen. Bezeichne [mm] a_{n} [/mm] die Summanden der Reihe
A = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}+1} [/mm]
und [mm] b_{n} [/mm] die Summanden der Reihe
B= [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}+1}
[/mm]
Es ist doch [mm] \bruch{1}{n^{2}+1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n^{2}}, [/mm] denn der Nenner bei [mm] \bruch{1}{n^{2}+1} [/mm] ist ja immer um einen kleinen Bruchteil größer als bei [mm] \bruch{1}{n^{2}}.
[/mm]
Formal gesehen gilt für alle n [mm] \ge [/mm] 1: [mm] \bruch{1}{n^{2}+1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] <=> [mm] n^{2} [/mm] < [mm] n^{2} [/mm] + 1, und die rechte Seite ist ja eine wahre Aussage nach der Monotonie der natürlichen Zahlen.
Es gilt somit, da [mm] a_{n} [/mm] nur positive Glieder enthält, sogar:
[mm] \left| a_{n}\right| \le b_{n}. [/mm] Da die Reihe B konvergent ist, ist die Reihe A nach dem Majorantenkriterium absolut konvergent, und somit konvergent.
Mit welcher dir bekannten konvergenten Reihe könntest du nun die Summanden aus b) nach oben abschätzen, bzw. was fällt dir denn bei den Summanden der Reihe aus b) auf wenn du mal genau draufschaust?
Viele Grüße,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Fr 06.11.2015 | | Autor: | sae0693 |
Ganz ehrlich; ich kann mit dem Majorantenkriterium nichts Anfang, da ich das noch nicht hatte. Auch soll ich ja laut Aufgabe die Konvergenz durch Vergleich mit bekannten Reihe untersuchen.
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Hallo,
> Ganz ehrlich; ich kann mit dem Majorantenkriterium nichts
> Anfang, da ich das noch nicht hatte. Auch soll ich ja laut
> Aufgabe die Konvergenz durch Vergleich mit bekannten Reihe
> untersuchen.
Das ist das Majorantenkriterium (bzw. Minorantenkriterium) - auch genannt "Vergleichskriterium"
Mein Vorredner hat das so schön an a) erklärt - konvergente Vergleichsreihe (konv. Majorante) ist [mm] $\sum\frac{1}{n^2}$.
[/mm]
Die ist also größer als deine Reihe in a) und konvergent (hat also einen endlichen Reihenwert). Was bleibt da deiner armen Reihe übrig als auch zu konvergieren?
Bei b) ist die Reihe doch von der "Größenordnung" [mm] $\sum\frac{1}{n}$, [/mm] also etwa wie die bekanntermaßen divergente harmonische Reihe.
Schätze also gegen die harmonische Reihe als Vergleichsreihe ab (als kleinere divergente Reihe). Dann muss deine größere Reihe ja erst recht divergent sein ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:37 Fr 06.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Pardon, ich meinte natürlich "nach unten abschätzen" bei b).
Stelle dir mal zu a) Folgendes vor: Du hast Summanden
[mm] a_{1} [/mm] = 1, [mm] a_{2} [/mm] = 2, [mm] a_{3} [/mm] = 3, ..., [mm] a_{n} [/mm] = n
und
[mm] b_{1} [/mm] = 1/2, [mm] b_{2} [/mm] = 1, [mm] b_{3} [/mm] = 3/2, ..., [mm] b_{n} [/mm] = n/2
Somit kannst du doch sagen 1/2 < 1, 1 < 2, 3/2 < 3. Somit sind dann doch im direkten Vergleich alle [mm] a_{n} [/mm] < [mm] b_{n}.
[/mm]
Nunja und nun addierst du jetzt alle [mm] b_{n}, [/mm] also [mm] b_{1} [/mm] + [mm] b_{2}+ [/mm] ... [mm] b_{n} [/mm]
Wenn jetzt die Reihe aller Summanden [mm] b_{1} [/mm] + ... + [mm] b_{n} [/mm] für n -> [mm] \infty [/mm] konvergieren würde, so bliebe deiner Reihe [mm] a_{1} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] + ... + [mm] b_{n} [/mm] für n -> [mm] \infty [/mm] wie schachuzipus schrieb ja "nichts anderes übrig" als auch zu konvergieren, da ja alle Glieder [mm] a_{n} [/mm] kleiner [mm] b_{n} [/mm] sind, also [mm] a_{n} [/mm] < [mm] b_{n} [/mm] gilt. Dieses Kriterium gilt auch Falls Gleichheit herrscht, also falls [mm] a_{n} [/mm] = [mm] b_{n} [/mm] gilt. Somit schreibt man im Majorantenkriterium [mm] |a_{n}| \le b_{n}
[/mm]
[mm] \left|a_{n}\right| \le b_{n} [/mm] bedeutet nun nur noch zusätzlich, dass sogar alle positiven Beträge der Summanden konvergieren, somit wäre die Reihe der [mm] a_{n} [/mm] absolut konvergent. Hier reicht ja aber die normale Konvergenz aus.
Gruß Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Mo 09.11.2015 | | Autor: | sae0693 |
Warum sind A und B gleich/identisch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Mo 09.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Hey,
nunja [mm] a_{n} [/mm] = [mm] b_{n} [/mm] wenn die Folgen [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] identisch sind. Dann konvergiert ja die Reihe der [mm] a_{n} [/mm] wenn die der [mm] b_{n} [/mm] es tut, dies ist ja glasklar.
Nicht so klar ist vielleicht die Betrachtung [mm] |a_{n}| [/mm] = [mm] b_{n} [/mm] beim Majorantenkriterium.
Sei z.B. [mm] b_{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{n^{2}} [/mm] und [mm] a_{n} [/mm] = [mm] (-1)^{n} [/mm] 1/n²
[mm] a_{n} [/mm] unterscheidet sich ja von [mm] b_{n} [/mm] bis auf das alternierende negative Vorzeichen.
Die Beträge von [mm] a_{n} [/mm] stimmen mit [mm] b_{n} [/mm] überein, da ich bei den Beträgen aus negativen Gliedern positive mache und somit habe nicht mehr die "-1" vorne dranstehen.Somit erhalte ich [mm] |a_{n}| [/mm] = [mm] b_{n} [/mm]
Somit ist die Reihe der [mm] a_{n} [/mm] absolut konvergent, und daraus folgt dass die Reihe der [mm] a_{n} [/mm] konvergent ist.
Alternativ hätte man dies auch durch das Leibniz-Kriterium zeigen können, da die Reihenglieder der [mm] a_{n} [/mm] aus einer monoton fallenden Nullfolge und einem alternierenden Vorzeichen bestehen. Somit konvergiert die Reihe.
Wie lauten denn Teilaufgabe c) und d) ?
Gruß X3nion
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Di 10.11.2015 | | Autor: | sae0693 |
Also kann ich das Leibniz-Kriterium nur verwenden, wenn es sich um eine alternierende Folge, sowie eine Nullfolge (Grenzwert für unendlich gegen 0) und eine streng monoton fallende Folge handelt?
Sind alle alternierenden Folgen konvergent?
Wegen dem Quotientenkriterium werde ich wahrscheinlich nochmal zurück kommen. 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Di 10.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Heyho!
Ich hab mich ein wenig unpräzise ausgedrückt, sorry. Die Reihenglieder müssen aus einer monoton fallenden Nullfolge bestehen und ihr Vorzeichen muss alternieren!
Sei [mm] a_{n} [/mm] = 1/n² eine monoton fallende Nullfolge,
so ist die Reihe [mm] a_{0} [/mm] - [mm] a_{1} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] - [mm] a_{3} [/mm] + [mm] a_{4} [/mm] ... konvergent.
Also diese 3 Kriterien müssen zutreffen: [mm] a_{n} [/mm] ist eine Nullfolge, UND [mm] a_{n} [/mm] ist monoton fallend, UND die Reihenglieder der [mm] a_{n} [/mm] alternieren. Die Reihenglieder haben also die Form:
[mm] (-1)^{n} a_{n}.
[/mm]
Freilich ist eine alternierende Nullfolge auch konvergent, denn es ist egal ob sich die Folgenglieder von oben oder von unten an den Grenzwert annähern.
Weil betragsmäßig, wie es ja in der Definition der Konvergenz beschrieben, nähern sich die Folgenglieder immer von oben an den Grenzwert an - außer natürlich im Komplexen.
Okay alles klar, frag gerne ;)
Gruß X3nion
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Di 10.11.2015 | | Autor: | sae0693 |
Eine Nullfolge, welche alternierend und monoton fallend ist! Korrekt?
Wenn all dies der Fall ist, dann ist die Folge auch konvergent. Ebenfalls Korrekt?
Damit kann ich wiederum nicht sagen, gegen welchen Wert die Reihe konvergiert, oder konvergiert diese dann tatsächlich gegen 0?
Eine Folge kann auch bei der Grenzweltbetrachtung gegen unendlich 0 rausbekommen, trotzdem muss die Reihe aber nicht konvergent sein. Richtig?
Dies alles betrifft nur unendliche Folge, richtig? Bei endlichen kann ich den Grenzwert ja relativ simple bestimmen.
Zum Leibniz-Kriterium:
[Externes Bild http://img5.fotos-hochladen.net/uploads/16konvergenzkkuxy81npeh.png]
Das hier ist ein Beispiel von meinem Prof. Ab Zeile 2 ist es schon schwierig, da überhaupt drauf zu kommen, es so umzustellen. Bis Zeile 4 ist dann wieder alles klar. In Zeile 4 verstehe ich aber nicht, warum die Klammer einfach so zu einem Bruch zusammengefasst werden kann, zumal diese "unendlich" ist. Warum kann das einfach gemacht werden? Daraus wird laut meinem Prof. dann gefolgert, dass die Folge nicht monoton ist und daher auch nicht konvergiert.
Gibt es noch eine andere Möglichkeit mit dem Leibniz-Kriterium auf die Lösung zu kommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Di 10.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Hi!
>> Eine Nullfolge, welche alternierend und monoton fallend ist! Korrekt? <<
Ja!
>> Wenn all dies der Fall ist, dann ist die Folge auch konvergent. Ebenfalls Korrekt? <<
Richtig!
>> Damit kann ich wiederum nicht sagen, gegen welchen Wert die Reihe konvergiert, oder konvergiert diese dann tatsächlich gegen 0?
Eine Folge kann auch bei der Grenzweltbetrachtung gegen unendlich 0 rausbekommen, trotzdem muss die Reihe aber nicht konvergent sein. Richtig? <<
Der Grenzwert einer Reihe muss nicht 0 sein wenn der Grenzwert der Folge es ist.
Hier wäre der Grenzwert, wenn ich mich nicht verrechnet habe, [mm] \pi^{2} [/mm] / 12.
Es ist prinzipiell für jede Reihe möglich ihren Grenzwert zu berechnen, jedoch ist es mehr oder weniger einfach.
Das zweite hast du richtig erfasst: Ist der Grenzwert einer Folge 0, so muss die Reihe der Folgenglieder nicht konvergent sein. Bestes Beispiel hierfür ist die divergente harmonische Reihe der Glieder 1/n, also 1 + 1/2 + 1/3 ...
Umgekehrt kann man aber folgern: Ist eine Reihe konvergent, so muss die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge bilden. Dies ist das sogenannte Trivialkriterium
Zu deinem Bild:
Dies ist mir selbst etwas schleierhaft, deshalb eine Frage an die anderen: Wurde hier nicht eine Umordnung der besagten Reihe so gewählt, dass diese bewusst divergiert? Denn eine Umordnung konvergenter, aber nicht absolut komvergenter Reihen bringt ja stets eine Änderung des Grenzwertes mit sichm Aber konvergiert die gegebene Reihe überhaupt?
Auf jeden Fall klammert er die 1/5 aus um in der Klammer die geometrische Reihe zu bekommen und um insgesamt zu zeigen: die erste Klammer ist die harmonische Reihe und somit divergent, der Grenzwert der geometrischen Reihe *1/5 ergibt 1/4 und ändert nahezu nichts daran dass die umgeordnete Reihe gegen unendlich geht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 Di 10.11.2015 | | Autor: | X3nion |
An alle anderen:
Würde mich freuen wenn ihr euch meinen Artikel durchlest, da ich einen kleinen Zweifel beim Beantworten der Fragen des Fragestellers zum Bild habe!
Gruß X3nion
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Hallo,
> Eine Nullfolge, welche alternierend und monoton fallend
> ist! Korrekt?
Nein, wie soll das denn gehen?
Es ist die alternierende Reihe [mm]\sum\limits_{n\ge 0}(-1)^na_n[/mm] konvergent, wenn [mm](a_n)_{n\in\IN\}[/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist.
Das [mm](-1)^n[/mm] sorgt dafür, dass die Summanden in der Reihe alternieren ...
> Wenn all dies der Fall ist, dann ist die Folge auch
> konvergent. Ebenfalls Korrekt?
> Damit kann ich wiederum nicht sagen, gegen welchen Wert
> die Reihe konvergiert, oder konvergiert diese dann
> tatsächlich gegen 0?
>
> Eine Folge kann auch bei der Grenzweltbetrachtung gegen
> unendlich 0 rausbekommen, trotzdem muss die Reihe aber
> nicht konvergent sein. Richtig?
Ja, das LK sagt nur was zur Konvergenz, den Reihenwert kann man damit nicht bestimmen.
>
> Dies alles betrifft nur unendliche Folge, richtig? Bei
> endlichen kann ich den Grenzwert ja relativ simple
> bestimmen.
Endliche Summen haben immer einen endlichen Wert!
>
> Zum Leibniz-Kriterium:
>
> [Externes Bild http://img5.fotos-hochladen.net/uploads/16konvergenzkkuxy81npeh.png]
>
> Das hier ist ein Beispiel von meinem Prof.
Zum Leibnizkriterium ?? ...
> Ab Zeile 2 ist
> es schon schwierig, da überhaupt drauf zu kommen, es so
> umzustellen. Bis Zeile 4 ist dann wieder alles klar. In
> Zeile 4 verstehe ich aber nicht, warum die Klammer einfach
> so zu einem Bruch zusammengefasst werden kann, zumal diese
> "unendlich" ist. Warum kann das einfach gemacht werden?
Das ist ja ein bisschen gefuddelt ...
In der Ausgangsreihe steckt ein "divergenter" Teil mit der harmonischen Reihe und ein konvergenter mit der geometrischen Reihe.
Die wird benutzt, um [mm]\frac{1}{5}\cdot{}\frac{1}{1-1/5}[/mm] zu schreiben für [mm]-\frac{1}{5}\cdot{}\sum\limits_{k\ge 1}\left(\frac{1}{5}\right)^k[/mm]
> Daraus wird laut meinem Prof. dann gefolgert, dass die
> Folge nicht monoton ist und daher auch nicht konvergiert.
> Gibt es noch eine andere Möglichkeit mit dem
> Leibniz-Kriterium auf die Lösung zu kommen?
Möglicherweise mit dem Vergleichskriterium ?!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Di 10.11.2015 | | Autor: | sae0693 |
Wie komme ich auf die Vergleichsreihe beim Majorantenkriterium? Einfach immer die Reihe minus 1 rechnen? Oder etwas ganz anderes?
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Hallo sae0693!
Da gibt es leider keine Pauschalantwort bzw. ein Allheilrezept.
Hier hilft "leider" nur Erfahrung und/oder etwas Probieren.
Du brauchst zunächst einen Anfangsverdacht, ob die betreffende Reihe konvergent oder divergent ist, um dann mit dem Vergleichskriterium entsprechend nach oben oder unten abschätzen zu können.
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Di 10.11.2015 | | Autor: | fred97 |
>
> Zum Leibniz-Kriterium:
>
> [Externes Bild http://img5.fotos-hochladen.net/uploads/16konvergenzkkuxy81npeh.png]
>
> Das hier ist ein Beispiel von meinem Prof.
So so, was ist den Dein Professor von Beruf ? Vollpfosten ?
Spass beiseite, was ich in obigem Bild sehe ist völliger Quark. Da wird die gegebene Reihe gewaltig umgeordnet. Da kann man hinterher nix mehr über Konvergenz sagen. Mit Leibniz hat das auch nix zu tun.
Wir betrachten also die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k, [/mm] wobei
[mm] a_k=\bruch{1}{k}-\bruch{1}{5^k}.
[/mm]
Dann ist
(*) [mm] \bruch{1}{k}=a_k+\bruch{1}{5^k}.
[/mm]
Wäre nun [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] konvergent, so würde aus (*) und der Konvergenz von [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{5^k} [/mm] (geom. Reihe !) die Konvergenz von [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k} [/mm] folgen, Widerspruch !
Also ist [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] divergent.
Grüße an Deinen Professor, sag ihm, er soll nicht so viel Unsinn labern.
FRED
> Ab Zeile 2 ist
> es schon schwierig, da überhaupt drauf zu kommen, es so
> umzustellen. Bis Zeile 4 ist dann wieder alles klar. In
> Zeile 4 verstehe ich aber nicht, warum die Klammer einfach
> so zu einem Bruch zusammengefasst werden kann, zumal diese
> "unendlich" ist. Warum kann das einfach gemacht werden?
> Daraus wird laut meinem Prof. dann gefolgert, dass die
> Folge nicht monoton ist und daher auch nicht konvergiert.
> Gibt es noch eine andere Möglichkeit mit dem
> Leibniz-Kriterium auf die Lösung zu kommen?
>
>
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:55 Mi 11.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Die Sprüche hier sind ja hin und wieder echt amüsant ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Ich musste wirklich lachen bei Ihrem Kommentar, fred97, was denn der Professor von Beruf sei!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:42 Do 12.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Die Sprüche hier sind ja hin und wieder echt amüsant
>
Ja, sowas könnte viel häufiger passieren.
> Ich musste wirklich lachen bei Ihrem Kommentar, fred97, was
> denn der Professor von Beruf sei!
In diesem formidablen Forum duzen wir uns.
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:05 Do 12.11.2015 | | Autor: | X3nion |
> okay in Ordnung, ich weiß Bescheid!
> FRED
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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