Konvergenz einer Folge-Beweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] a_n :=(5n^2+17n+19)/(n^2+3n+7). [/mm] |
guten morgen!
bei dieser aufgabe ist der gw zu berechnen und diesen dann zu beweisen.
der gw ist 5. aber das ist ja nicht mein problem bei der ganzen sache. ich verstehe den beweis, der uns gezeigt wurde, nicht:
[mm] |a_n-a|=|2n-16|/(n^2+3n+7)\le(2n+16)/(n^2+3n+7)\le(2n+16n)/n^2 \le18/n
[/mm]
kann ich denn einfach so willkürlich etwas wegkürzen oder dazugeben, damit ein term größer ist als sein "vorgänger"? Beziehungsweise ist das ganze denn überhaupt willkürlich?
und was hab ich da jetzt zum schluss stehen? inwiefern hilft mir das?
sei e>0. Wähle N>18/e (warum auf einmal 18/e? vorhin wars ja 18/n)
Sei n>=N. Dann ist [mm] |a_n-5|<=18/n
wäre ganz toll, wenn mir das wer erklären könnte!
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:57 Mo 04.05.2009 | | Autor: | BBFan |
> [mm]a_n :=(5n^2+17n+19)/(n^2+3n+7).[/mm]
> guten morgen!
>
> bei dieser aufgabe ist der gw zu berechnen und diesen dann
> zu beweisen.
> der gw ist 5. aber das ist ja nicht mein problem bei der
> ganzen sache. ich verstehe den beweis, der uns gezeigt
> wurde, nicht:
>
> [mm]|a_n-a|=|2n-16|/(n^2+3n+7)\le(2n+16)/(n^2+3n+7)\le(2n+16n)/n^2 \le18/n[/mm]
Das bezieht sich sicher auf eine ähnliche Aufgabe.
>
> kann ich denn einfach so willkürlich etwas wegkürzen oder
> dazugeben, damit ein term größer ist als sein "vorgänger"?
Ja kannst Du. Solange Du eine Abschätzung in nur eine Richtung machst, ist das OK.
> Beziehungsweise ist das ganze denn überhaupt willkürlich?
Nein, man will am Ende eine Nullfolge stehen haben.
> und was hab ich da jetzt zum schluss stehen? inwiefern
> hilft mir das?
Nun ja, da steht eine Nullfolge. D.h. die Folge [mm] |a_n [/mm] - 5| konvergiert gegen 0. Das ist doch ein Kriterium, dass [mm] a_n [/mm] gegen 5 geht.
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> sei e>0. Wähle N>18/e (warum auf einmal 18/e? vorhin wars
> ja 18/n)
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> Sei n>=N. Dann ist [mm]|a_n-5|<=18/n
> ich, da man ja das e beliebig klein wählen kann und das N
> von e abhängt.)
Nun will man zeigen, dass zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein N [mm] \varepsilon \IN [/mm] existiert, so dass [mm] a_n [/mm] für alle n > N in der Epsilonumgebung von 5 liegt. Das zeigt dann mit Hilfe der Definition, dass 5 der Grenzwert der Folge [mm] a_n [/mm] ist.
> wäre ganz toll, wenn mir das wer erklären könnte!
>
> lg
Gruss
BBFan
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