Konvergenz einer Folge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:20 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Monschn |
Hallo beisammen!
Ist folgende Aussage wahr oder falsch:
Die Folge [mm] (x_{n}^2)_{n\in \IN} [/mm] konvergiert genau dann, wenn die Folge [mm] (|x_{n}|)_{n \in \IN} [/mm] konvergiert.
Ich kann mit dieser Aussage überhaupt nichts anfangen. Ich habe mir schon ein paar Beispiele überlegt, aber diese helfen mir auch nicht weiter.
Es gibt einen Betragssatz, der besagt, wenn die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] gegen a konvergiert, dann konvergiert [mm] (|a_{n}|) [/mm] gegen |a|.
Aber für diesen Fall ist dieser Satz auch nicht so hilfreich.
Stimmt die zu beweisende bzw. zu widerlegende Aussage überhaupt?
Ich wäre für Hilfe sehr dankbar.
Liebe Grüße,
Simone
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:38 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Simone!
Die Aussage ist richtig, da sowohl
[mm] $\sqrt{\cdot } :\IR_+ \to \IR \quad [/mm] , [mm] \quad [/mm] x [mm] \mapsto \sqrt{x}$
[/mm]
wie auch
[mm] ${\cdot}^2 [/mm] : [mm] \IR \to \IR^+ \quad [/mm] , [mm] \quad [/mm] x [mm] \mapsto x^2$
[/mm]
stetige Funktionen sind, die konvergente Folgen in konvergente Folgen transportieren.
Liebe Grüße
Stefan
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