Konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe |
Jeweils [mm] _{n}\in\IN
[/mm]
1. [mm] a_{n}=\wurzel{b_{n}} [/mm]
[mm] ((b_{n})_{n}\in\IN [/mm] sei eine positive, konvergente Folge, mit Grenzwert [mm] b\not=0)
[/mm]
2. [mm] a_{n}=\bruch{(-1)^n}{3^n -n}
[/mm]
Konvergieren die Folgen? Bestimmen Sie ggf. den Grenzwert. |
Hi, ich komme bei diesen Folgen nicht weiter und hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
1. Bei dieser Aufgabe denke ich, dass [mm] a_{n} [/mm] konvergent ist, weil ja [mm] b_{n} [/mm] schon als konvergent vorgegeben ist und wenn man von einer konvergenten Folge die Wurzel nimmt, dann müsste Sie doch immer noch konvergiegen, nur halt mit kleinerer Geschwindigkeit... Soweit meine Überlegung. Obs wirklich stimmt weiss ich nicht und vor allem weiss ich nicht wie ich das mathematisch korrekt formulieren soll.
2. hier hab ich überhaupt nix brauchbares.. hab versucht zu erweitern aber da kommt nix bei raus und ausklammern geht ja auch nicht...
lg
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Hallo aliaszero,
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> Jeweils [mm]_{n}\in\IN[/mm]
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> 1. [mm]a_{n}=\wurzel{b_{n}}[/mm]
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> [mm]((b_{n})_{n}\in\IN[/mm] sei eine positive, konvergente Folge,
> mit Grenzwert [mm]b\not=0)[/mm]
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> 2. [mm]a_{n}=\bruch{(-1)^n}{3^n -n}[/mm]
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> Konvergieren die Folgen? Bestimmen Sie ggf. den Grenzwert.
> Hi, ich komme bei diesen Folgen nicht weiter und hoffe ihr
> könnt mir weiterhelfen.
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> 1. Bei dieser Aufgabe denke ich, dass [mm]a_{n}[/mm] konvergent ist,
> weil ja [mm]b_{n}[/mm] schon als konvergent vorgegeben ist und wenn
> man von einer konvergenten Folge die Wurzel nimmt, dann
> müsste Sie doch immer noch konvergiegen, nur halt mit
> kleinerer Geschwindigkeit... Soweit meine Überlegung. Obs
> wirklich stimmt weiss ich nicht und vor allem weiss ich
> nicht wie ich das mathematisch korrekt formulieren soll.
Das stimmt schon soweit, versuche doch, es in einen [mm] $\varepsilon$-Beweis [/mm] zu packen ...
Oder kürzer (falls du es benutzen darfst) über die Stetigkeit der Wurzelfunktion auf [mm] $\IR^+$ [/mm] ...
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> 2. hier hab ich überhaupt nix brauchbares.. hab versucht zu
> erweitern aber da kommt nix bei raus und ausklammern geht
> ja auch nicht...
Auch kannst du einen [mm] $\varepsilon$-Beweis [/mm] machen, das ist nicht allzu schwer.
Das [mm] $3^n$ [/mm] im Nenner ist ja der am schnellsten wachsende Term in [mm] $a_n$, [/mm] also würde man doch vermuten, dass das Biest gegen 0 strebt, und zwar alternierend wegen der [mm] $(-1)^n$ [/mm] im Zähler
Gib dir also ein bel. [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] vor und schätze den Betrag [mm] $|a_n-0|=\left|\frac{(-1)^n}{3^n-n}\right|=\frac{1}{3^n-n}$ [/mm] ab, um dein [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] zu konstruieren ...
LG
schachuzipus
>
> lg
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