Konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Sa 12.12.2009 | | Autor: | jogi87 |
| Aufgabe | Zeige, dass lim [mm] a_{n}=\bruch{1}{2}gilt,
[/mm]
[mm] a_{n}=\bruch{-n}{2n+4},
[/mm]
Bestimme dazu für jedes [mm] \varepsilon>0 [/mm] eine Zahl [mm] N(\varepsilon) [/mm] sodass [mm] |a_{n}-a|<\varepsilon [/mm] |
HallO!
Ich habe zunächst damit angefangen, den Betag umzuformen und bin dabei auf [mm] \bruch{n+1}{n+2} [/mm] gekommen.
Im nächsten Schritt, müsste ich doch abschätzen, was größer als dieser Bruch ist um Ungleichheit zu erzeugen. leider komme ich nicht auf die richtgige Abschätzung, sodass ein n weg ist um später nach n aufzulösen, Ich hoffe dass jemand mein Problem versteht un mir helfen kann...
Danke und Gruß
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Hallo jogi87,
> Zeige, dass lim [mm]a_{n}=\bruch{1}{2}gilt,[/mm]
> [mm]a_{n}=\bruch{-n}{2n+4},[/mm]
> Bestimme dazu für jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] eine Zahl
> [mm]N(\varepsilon)[/mm] sodass [mm]|a_{n}-a|<\varepsilon[/mm]
Kann es sein, daß der Zähler [mm]n\![/mm] sein muß? Sonst kommt als Grenzwert [mm]-\tfrac{1}{2}[/mm] raus.
Es gilt also: [mm]a_n:=\tfrac{n}{2n+4}[/mm]. Jetzt setze [mm]a_n[/mm] in die Definition der Konvergenz einer Folge ein:
[mm]\forall\epsilon >0\;\exists N\in\mathbb{N}\;\forall n>N:\left|a_n-a\right|=\left|\frac{1}{2}-\frac{n}{2n+4}\right|=\left|\frac{2n+4-2n}{4n+8}\right|=\left|\frac{1}{n+2}\right|<\frac{1}{n}<\epsilon.[/mm]
Und es gilt [mm]\tfrac{1}{N}<\epsilon\Rightarrow \tfrac{1}{\epsilon}
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Sa 12.12.2009 | | Autor: | jogi87 |
| Aufgabe | Zeige, dass lim $ [mm] a_{n}=\bruch{-1}{2}gilt, [/mm] $
$ [mm] a_{n}=\bruch{-n}{2n+4}, [/mm] $
Bestimme dazu für jedes $ [mm] \varepsilon>0 [/mm] $ eine Zahl $ [mm] N(\varepsilon) [/mm] $ sodass $ [mm] |a_{n}-a|<\varepsilon [/mm] $ |
Sorry, es stimmt, der Grenzwert ist [mm] \bruch{-1}{2}
[/mm]
Ich habe dann [mm] |\bruch{-n}{2n+4}+\bruch{1}{2}|= \bruch{n+1}{n+2}<\bruch{n+2}{n+2}=1<\varepsilon [/mm] gestzt.
Nützt mir das etwas?
Wie verfahre ich nun mit [mm] N(\varepsilon) [/mm] weiter?
Kann ich nun sagen dass gilt [mm] N(\varepsilon)=2 \le [/mm] n=2
und habe damit die Lösung?
Danke für die Geduld
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Hallo jogi87,
> Zeige, dass lim [mm]a_{n}=\bruch{-1}{2}gilt,[/mm]
> [mm]a_{n}=\bruch{-n}{2n+4},[/mm]
> Bestimme dazu für jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] eine Zahl
> [mm]N(\varepsilon)[/mm] sodass [mm]|a_{n}-a|<\varepsilon[/mm]
> Sorry, es stimmt, der Grenzwert ist [mm]\bruch{-1}{2}[/mm]
> Ich habe dann [mm] $|\bruch{-n}{2n+4}+\bruch{1}{2}|$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> $= [mm] \bruch{n+1}{n+2}$ [/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Was ist da passiert?
Erweitere die [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] mit $n+2$, das gibt:
[mm] $...=\left|\frac{-n}{2n+4}+\frac{n+2}{2n+4}\right|=\left|\frac{1}{n+2}\right|=\frac{1}{n+2}$ [/mm]
Und dann analog zu Karls Antwort weiter ...
> [mm] <\bruch{n+2}{n+2}=1<\varepsilon[/mm] [/mm]
> gestzt.
> Nützt mir das etwas?
> Wie verfahre ich nun mit [mm]N(\varepsilon)[/mm] weiter?
> Kann ich nun sagen dass gilt [mm]N(\varepsilon)=2 \le[/mm] n=2
> und habe damit die Lösung?
>
> Danke für die Geduld
>
Gruß
schachuzipus
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