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Konvergenz einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:27 So 13.04.2014
Autor: Petrit

Aufgabe
Untersuchen Sie die Reihe

[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k-1}}{kx} [/mm]

auf punktweise, absolute und gleichmäßige Konvergenz in (0,1].

Guten Abend!

Ich habe noch eine Aufgabe und wollte fragen, ob meine Methode so stimmt.
Und zwar habe ich [mm] \bruch{1}{x} [/mm] vor die Summe gezogen und zwar so: [mm] \bruch{1}{x} \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k-1}}{k}, [/mm] um so die Reihe auf Konvergenz zu überprüfen.
Da die Abbildung X [mm] \to [/mm] X im Intervall (0,1] beschränkt ist und die alternierende harmonische Reihe nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert, konvergiert die Reihe auch gleichmäßig in (0,1].
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Reihe konvergiert auch punktweise!

Kann man das so machen?

Schonmal vielen Dank im Voraus!

Gruß Petrit!


        
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:38 Mo 14.04.2014
Autor: fred97


> Untersuchen Sie die Reihe
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k-1}}{kx}[/mm]
>  
> auf punktweise, absolute und gleichmäßige Konvergenz in
> (0,1].
>  Guten Abend!
>  
> Ich habe noch eine Aufgabe und wollte fragen, ob meine
> Methode so stimmt.
>  Und zwar habe ich [mm]\bruch{1}{x}[/mm] vor die Summe gezogen und
> zwar so: [mm]\bruch{1}{x} \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k-1}}{k},[/mm]
> um so die Reihe auf Konvergenz zu überprüfen.
>  Da die Abbildung X [mm]\to[/mm] X im Intervall (0,1] beschränkt
> ist

Welche Abbildung ????

>  und die alternierende harmonische Reihe nach dem
> Leibniz-Kriterium konvergiert, konvergiert die Reihe auch
> gleichmäßig in (0,1].
>  [mm]\Rightarrow[/mm] Die Reihe konvergiert auch punktweise!
>  
> Kann man das so machen?

Nein !

Wir setzen

$ [mm] s_n:=\summe_{k=1}^{n}\bruch{(-1)^{k-1}}{k} [/mm] $

und

  $ [mm] s_n(x):=\summe_{k=1}^{n}\bruch{(-1)^{k-1}}{xk} [/mm] $  für x [mm] \in [/mm] (0,1]

1. Dass die Reihe

     $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k-1}}{kx} [/mm] $

für kein  x [mm] \in [/mm] (0,1]  absolut konvergiert , dürfte klar sein.

2. [mm] (s_n) [/mm] konvergiert  gegen ln(2), damit konvergiert [mm] (s_n(x)) [/mm] auf (0,1] punktweise gegen [mm] f(x):=\bruch{ln(2)}{x}. [/mm]

3. Schau Dir mal die Folge [mm] (s_n(1/n)) [/mm] an. Dann solltest Du feststellen, dass [mm] (s_n(x)) [/mm] , und damit   $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k-1}}{kx} [/mm] $, auf (0,1]  nicht gleichmäßig konvergiert !

FRED

>  
> Schonmal vielen Dank im Voraus!
>  
> Gruß Petrit!
>  


Bezug
                
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:05 Mi 16.04.2014
Autor: Petrit

Vielen Dank!

Gruß, Petrit!

Bezug
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