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| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe des Vergleichskriteriums, dass die Reihe
[mm] \summe_{K=0}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k}
[/mm]
für die Werte x>1 divergiert,. und für x [mm] \in [/mm] [0,1) konvergiert.
Für welche negativen Werte x ist die Reihe absolut konvergent? |
Den ersten Teil der Aufgabe (Beweis der Divergenz für x>1) habe ich mit Hilfe der harmonischen Reihe
[mm] \summe_{K=0}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] als Majorante bereits gelöst. Ich denke das ist richtig.
Zum Beweis der Konvergenz: Dafür habe ich mir die konvergente Reihe [mm] \bruch{1}{k^{2}} [/mm] als Majorante gewählt und gemäß [mm] |a_{k}| \le d_{k}
[/mm]
entsteht die Gleichung
[mm] \summe_{K=0}^{\infty} |\bruch{x^{k}}{k}| \le \summe_{K=0}^{\infty} \bruch{1}{k}
[/mm]
Meine Lösungsansätze lauten nun (bin mir nicht wirklich sicher):
(lasse das Summenzeichen aus zeitlichen Gründen weg, gibt ja keine Indexverschiebung usw.)
[mm] |x^{k}| \le \bruch{k}{k^{k}}
[/mm]
Kann man das so umformen? Und wie mach ich nun weiter?
Freue mich über jede Hilfe!
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen Sie mit Hilfe des Vergleichskriteriums, dass die
> Reihe
> [mm]\summe_{K=0}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k}[/mm]
> für die Werte x>1
> divergiert,. und für x [mm]\in[/mm] [0,1) konvergiert.
> Für welche negativen Werte x ist die Reihe absolut
> konvergent?
> Den ersten Teil der Aufgabe (Beweis der Divergenz für x>1)
> habe ich mit Hilfe der harmonischen Reihe
> [mm]\summe_{K=0}^{\infty} \bruch{1}{k}[/mm] als Majorante bereits
> gelöst. Ich denke das ist richtig.
Hallo,
ich denke mal, daß Deine Summe erst ab 1 laufen soll, sonst hast Du ja ein Problem.
Das mit der harm. Reihe ist richtig, Du verwendest sie allerdings nicht als Majorante, sondern als Minorante.
>
> Zum Beweis der Konvergenz: Dafür habe ich mir die
> konvergente Reihe [mm]\bruch{1}{k^{2}}[/mm] als Majorante gewählt
> und gemäß [mm]|a_{k}| \le d_{k}[/mm]
> entsteht die Gleichung
> [mm]\summe_{K=0}^{\infty} |\bruch{x^{k}}{k}| \le \summe_{K=0}^{\infty} \bruch{1}{k}[/mm]
Hier wolltest Du sicher [mm] \le \summe_{K=0}^{\infty} \bruch{1}{k^2} [/mm] schreiben.
>
> Meine Lösungsansätze lauten nun (bin mir nicht wirklich
> sicher):
> (lasse das Summenzeichen aus zeitlichen Gründen weg, gibt
> ja keine Indexverschiebung usw.)
> [mm]|x^{k}| \le \bruch{k}{k^{k}}[/mm]
Das soll sicher [mm] |x^{k}| \le \bruch{k}{k^{2}} [/mm] heißen.
> Kann man das so umformen?
> Und wie mach ich nun weiter?
Du müßtest jetzt zeigen, daß Du für jedes x ein K findest so, daß es für alle [mm] k\ge [/mm] K stimmt.
Ich will nicht ausschließen, daß das geht, aber es ist furchtbar umständlich.
Du kannst Deine Reihe für |x| < 1 doch hervorragend durch die geometrische Reihe abschätzen, da braucht man fast nichts zu rechnen.
Gruß v. Angela
> Freue mich über jede Hilfe!
>
> P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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