Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen sie die Reihe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{3n+1}{5^{n}+2} [/mm] |
Ich habs schon mit dem Quotientenkrit. versucht, aber da kommt nur
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{3n+4}{5^{n+1}+2} \* \bruch{5^{n}+2}{3n+1} [/mm] raus. Was sich nicht wirklich vereinfachen lässt!
Auch mit dem Wurzelkriterium bin ich nicht weitergekommen,da
[mm] \wurzel[n]{\bruch{3n+1}{5^{n}+2}} [/mm] nicht zu vereinfachen ist!
Für die Anwendung des Majorantenkriteriums fehlt mir auch eine geeignete Reihe!
Danke!!! Matthias
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Matthias!
Klammere bei dem Quotientenkriterium den Term [mm] $n*5^n$ [/mm] aus und kürze.
Gruß vom
Roadrunner
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| Aufgabe | das ergibt bei mir :
[mm] \bruch{3(n+1)+1}{\bruch{5}{n}+\bruch{2}{n*5^{n}}}\* \bruch{\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n*5^{n}}}{3n+1} [/mm] |
damit komm ich doch auch nicht weiter. :-(
Matthias
PS: Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Mo 07.01.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
siehe Roadrunner:
> Klammere bei dem Quotientenkriterium den Term $ [mm] n\cdot{}5^n [/mm] $ aus und kürze.
[mm] \bruch{3n+4}{5^{n+1}+2}*\bruch{5^{n}+2}{3n+1}=\bruch{3n*5^n+4*5^n+6n+8}{3n*5^{n+1}+6n+5^{n+1}+2}
[/mm]
[mm] =\bruch{n*5^n}{n*5^n}*\bruch{\bruch{3*n*5^n}{n*5^n}+\bruch{4*5^n}{n*5^n}+\bruch{6n}{n*5^n}+\bruch{8}{n*5^n}}{\bruch{3n*5^{n+1}}{n*5^n}+\bruch{6n}{n*5^n}+\bruch{5^{n+1}}{n*5^n}+\bruch{2}{n*5^n}}
[/mm]
Jetzt kannst du noch kürzen, dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] laufen lassen.
MfG barsch
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damit ist:
$ [mm] =\bruch{3+\bruch{6}{5^n}+\bruch{4}{n}+\bruch{8}{3n\cdot{}5^n}}{15+\bruch{6}{5^n}+\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n\cdot{}5^n}} [/mm] $
Das soll ja kleiner sein als 1 für alle [mm] \{n | n >n_{0}}
[/mm]
aber es ist doch beispielsweise 4/n > 1/n, weshalb sich keine Aussage treffen lässt! Offenbar habe ich noch irgendwo einen Denkfehler?
Danke
Matthias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Mo 07.01.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
> damit ist:
>
> [mm]=\bruch{3+\bruch{6}{5^n}+\bruch{4}{n}+\bruch{8}{3n\cdot{}5^n}}{15+\bruch{6}{5^n}+\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n\cdot{}5^n}}[/mm]
> Das soll ja kleiner sein als 1 für alle [mm]\{n | n >n_{0}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber es ist doch beispielsweise 4/n > 1/n, weshalb sich
> keine Aussage treffen lässt! Offenbar habe ich noch
> irgendwo einen Denkfehler?
>
> Danke
> Matthias
Du musst doch jetzt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm]\bruch{3+\bruch{6}{5^n}+\bruch{4}{n}+\bruch{8}{3n\cdot{}5^n}}{15+\bruch{6}{5^n}+\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n\cdot{}5^n}}[/mm]
berechnen.
Mache das einmal für jeden Term einzeln:
z.B.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{6}{5^n}\to{0}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{4}{n}\to{0}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}\to{0}
[/mm]
[mm] \dots
[/mm]
Du erhälst also;
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm]\bruch{3+\bruch{6}{5^n}+\bruch{4}{n}+\bruch{8}{3n\cdot{}5^n}}{15+\bruch{6}{5^n}+\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n\cdot{}5^n}}[/mm][mm] \to\bruch{3}{15}=\bruch{1}{5}<1.
[/mm]
MfG barsch
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Super, vielen Dank, jetzt hab ichs!
1.)Jetzt frag ich mich nur noch, ob man nicht
auch mit dem Wurzelkriterium zum Ziel kommt und vorallem wie?
es ist ja [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] $ [mm] \wurzel[n]{\bruch{3n+1}{5^{n}+2}} [/mm] $ [mm] \le [/mm] q < 1 zu zeigen.
2.)Gibt es allgemeine Regeln, welches Kriterium man am besten für welche Reihentypen anwendet?
MfG Matthias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:18 Di 08.01.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Matthias,
das Wurzelkriterium auf diesen Ausdruck anzuwenden, dürfte schwer fallen, denn Du müsstest diesen Quotienten erst mal so umschreiben, dass man auch eine n-te Wurzel ziehen kann. Bei Gesamtausdrücken, die in der n-ten Potenz stehen, bietet sich das natürlich an, aber bei Deinem aktuellen Beispiel sehe ich auf die Schnelle keinen Weg.
Welches Kriterium man anwendet, hängt stark vom Typ der Reihe ab. Bei Brüchen bietet sich das Quotientenkriterium an, bei Potenzen das Wurzelkriterium, aber man muss einfach im Laufe der Zeit einen gewissen Blick dafür entwickeln, welche Methode wohl zum Ziel führen wird. Da hilft wirklich nur die Übung.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo Matthias!
Du solltest hier auch mit dem Wurzelkriterium zum Ziel kommen, wenn Du unter der Wurzel [mm] $5^n$ [/mm] ausklammerst.
Gruß vom
Roadrunner
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