Konvergenz einer Reihe < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 Mo 24.11.2008 | | Autor: | wee |
| Aufgabe | Man untersuche auf Konvergenz:
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{n^2+2}{n^3+1}x^n, [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] |
Hallo,
bei der obigen Reihe habe ich mehrere Fälle untersucht
1.Fall: |x|<1
Hier habe ich benutzt, dass [mm] \bruch{n^2+2}{n^3+1} [/mm] eine Nullfolge, also beschränkt ist. Dann habe ich jeden Summanden gegen [mm] c*x^n [/mm] abgeschätzt, wobei c die Schranke ist. c kann ich dann aus der Summe nehmen und dann das Majorantenkriterium mit der geometrischen Reihe anwenden. Also konvergiert die Reihe für |x|<1
2. Fall: x>1
Hier habe ich die Summanden so umgeschrieben, dass sie größer sind als eine divergente Folge. Mit dem Minorantenkriterium folgt dann Divergenz
3. Fall: x<-1
Hier habe ich [mm] x^n=(-1)^ny^n, [/mm] y:=-x, benutzt und dann gezeigt, dass die Summanden keine Nullfolge sind, woraus wieder Divergenz folgt.
4. Fall: x=1
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{n^2+2}{n^3+1}x^n=\summe_{i=1}^{n}\bruch{n^2+2}{n^3+1}=\summe_{i=1}^{n}\bruch{n^2}{n^3+1}+\summe_{i=1}^{n}\bruch{2}{n^3+1}
[/mm]
Die letzte Summe konvergiert nach Majorantenkriterium mit [mm] \summe \bruch{2}{n^2}.
[/mm]
Allerdings komme ich mit der Summe [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{n^2}{n^3+1} [/mm] nicht zurecht.
Ich glaube, dass die Summe divergiert, aber ich weiss nicht, wie ich das zeigen soll.
Übrigens hat die Aufgabe keinen hohen Stellenwert auf dem Aufgabenblatt. Demnach glaube ich, dass man die Aufgabe auch deutlich kürzer lösen kann.
Ich bin für jede Hilfe dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Mo 24.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Man untersuche auf Konvergenz:
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> [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{n^2+2}{n^3+1}x^n,[/mm] x [mm]\in \IR[/mm]
> Hallo,
> bei der obigen Reihe habe ich mehrere Fälle untersucht
>
> 1.Fall: |x|<1
> Hier habe ich benutzt, dass [mm]\bruch{n^2+2}{n^3+1}[/mm] eine
> Nullfolge, also beschränkt ist. Dann habe ich jeden
> Summanden gegen [mm]c*x^n[/mm] abgeschätzt, wobei c die Schranke
> ist. c kann ich dann aus der Summe nehmen und dann das
> Majorantenkriterium mit der geometrischen Reihe anwenden.
> Also konvergiert die Reihe für |x|<1
O.K.
>
> 2. Fall: x>1
> Hier habe ich die Summanden so umgeschrieben, dass sie
> größer sind als eine divergente Folge. Mit dem
> Minorantenkriterium folgt dann Divergenz
O.K.
>
> 3. Fall: x<-1
> Hier habe ich [mm]x^n=(-1)^ny^n,[/mm] y:=-x, benutzt und dann
> gezeigt, dass die Summanden keine Nullfolge sind, woraus
> wieder Divergenz folgt.
O.K.
>
> 4. Fall: x=1
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{n^2+2}{n^3+1}x^n=\summe_{i=1}^{n}\bruch{n^2+2}{n^3+1}=\summe_{i=1}^{n}\bruch{n^2}{n^3+1}+\summe_{i=1}^{n}\bruch{2}{n^3+1}[/mm]
> Die letzte Summe konvergiert nach Majorantenkriterium mit
> [mm]\summe \bruch{2}{n^2}.[/mm]
> Allerdings komme ich mit der Summe
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{n^2}{n^3+1}[/mm] nicht zurecht.
Es ist [mm] \bruch{n^2+2}{n^3+1} \ge \bruch{n^2}{2n^3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2n}
[/mm]
ist es jetzt klar ?
> Ich glaube, dass die Summe divergiert, aber ich weiss
> nicht, wie ich das zeigen soll.
>
ES fehlt noch Fall 5: x=-1
Im Übrigen: Nimm das Quotienten - Kriterium. Da kommt sofort heraus, dass die Reihe für |x|<1 konv. und für |x|>1 div.
FRED
> Übrigens hat die Aufgabe keinen hohen Stellenwert auf dem
> Aufgabenblatt. Demnach glaube ich, dass man die Aufgabe
> auch deutlich kürzer lösen kann.
>
> Ich bin für jede Hilfe dankbar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Mo 24.11.2008 | | Autor: | wee |
Erstmal danke fred97.
Also zum Quotientenkriterium:
man betrachtet [mm] |\bruch{(n+1)^2+2}{(n+1)^3+1}*\bruch{(n^3+1}{n^2+2}*x|=|\bruch{n^3(n+1)^2+2n^3+(n+1)^2+2}{(n+1)^3n^2+n^2+2(n+1)^3+2}|*|x|=|\bruch{n^5+2n^4+n^3+2n^3+2n^2+4n+2}{n^5+3n^4+n^3+n^2+2n^3+6n^2+2n+2+2}|*|x|=|\bruch{n^5+2n^4+3n^3+2n^2+4n+2}{n^5+3n^4+3n^3+8n^2+2n+4}|*|x|
[/mm]
So, wie man jetzt aber weiter argumentiert, sehe ich leider nicht :(
Vielleicht kann mir hier jemand noch weiter helfen
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Hallo wee,
> Erstmal danke fred97.
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> Also zum Quotientenkriterium:
>
> man betrachtet
> [mm]|\bruch{(n+1)^2+2}{(n+1)^3+1}*\bruch{(n^3+1}{n^2+2}*x|=|\bruch{n^3(n+1)^2+2n^3+(n+1)^2+2}{(n+1)^3n^2+n^2+2(n+1)^3+2}|*|x|=|\bruch{n^5+2n^4+n^3+2n^3+2n^2+4n+2}{n^5+3n^4+n^3+n^2+2n^3+6n^2+2n+2+2}|*|x|=|\bruch{n^5+2n^4+3n^3+2n^2+4n+2}{n^5+3n^4+3n^3+8n^2+2n+4}|*|x|[/mm]
Ja, der Ansatz stimmt, die einzelnen Rechnenschritte habe ich nicht kontrolliert.
Du musst doch lt. QK von dem ganzen Gezuppel hier den [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}$ [/mm] betrachten, der fette Bruch strebt gegen 1, das Ganze also gegen [mm] $1\cdot{}|x|=|x|$
[/mm]
Das QK sagt doch nun: (absolute) Konvergenz für $|x|<1$ und Divergenz für $|x|>1$
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> So, wie man jetzt aber weiter argumentiert, sehe ich leider
> nicht :(
> Vielleicht kann mir hier jemand noch weiter helfen
LG
schachuzipus
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