Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Mi 26.11.2008 | | Autor: | tathy |
| Aufgabe | Überprüfen Sie die Reihe auf Konvergenz.
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}=\bruch{sin^{2}(n^{3}+5)}{3^n+1)}. [/mm] |
Hallo!
Ich habe etwas Probleme mit dieser Aufgabe. Ich habe versucht das Quotientenkriterium anzuwenden und kam auf folgendes:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{sin²((n+1)^{3}+5)(3^n+1)}{sin²(n^{3}+5)(3*3^n+1)}|. [/mm] Nun weiß ich nicht ob dies überhaupt das richtige Kriterium ist und wie ich das ganze weiter berechnen kann.
Klar ist mir nur, dass [mm] sin^{2}(...) \le [/mm] 1 ist. Und die Teilfolge [mm] a_{n}=\bruch{1}{3^n+1} [/mm] konvergiert für große n gegen 0.
Ich denke aber, dass die Summe divergiert, da der Sinus oszilliert. Stimmt diese Überlegung?
Vielen Dank für Eure Mithilfe. Über einen Tipp würde ich mich freuen.
Gruß Tathy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Mi 26.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Überprüfen Sie die Reihe auf Konvergenz.
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}=\bruch{sin^{2}(n^{3}+5)}{3^n+1)}.[/mm]
> Hallo!
> Ich habe etwas Probleme mit dieser Aufgabe. Ich habe
> versucht das Quotientenkriterium anzuwenden und kam auf
> folgendes:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{sin²((n+1)^{3}+5)(3^n+1)}{sin²(n^{3}+5)(3*3^n+1)}|.[/mm]
> Nun weiß ich nicht ob dies überhaupt das richtige Kriterium
> ist und wie ich das ganze weiter berechnen kann.
> Klar ist mir nur, dass [mm]sin^{2}(...) \le[/mm] 1 ist. Und die
> Teilfolge [mm]a_{n}=\bruch{1}{3^n+1}[/mm] konvergiert für große n
> gegen 0.
> Ich denke aber, dass die Summe divergiert, da der Sinus
> oszilliert. Stimmt diese Überlegung?
> Vielen Dank für Eure Mithilfe. Über einen Tipp würde ich
> mich freuen.
> Gruß Tathy
Nimm das Majorantenkriterium. Sei [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{sin^{2}(n^{3}+5)}{3^n+1}
[/mm]
oder heißt Deine Folge [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{sin^{2}(n^{3}+5)}{3^{n+1}} [/mm] ?
In beiden Fällen ist [mm] |a_n| \le 1/3^n [/mm] für jedes n.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Mi 26.11.2008 | | Autor: | tathy |
Hallo Fred!
> Nimm das Majorantenkriterium. Sei [mm]a_n[/mm] =
> [mm]\bruch{sin^{2}(n^{3}+5)}{3^n+1}[/mm]
>
> oder heißt Deine Folge [mm]a_n[/mm] =
> [mm]\bruch{sin^{2}(n^{3}+5)}{3^{n+1}}[/mm] ?
Sie lautet: [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{sin^{2}(n^{3}+5)}{3^n+1}[/mm]
Vielen Dank für den Tipp. Ich hatte schon versucht eine Majorante oder Minorante zu finden, wusste aber mit dem sin²(..) nichts anzufangen. Damit kann ich die Aufgabe lösen 
Gruß Tathy
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