Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:52 Di 02.12.2008 | | Autor: | Palonina |
| Aufgabe | | Es sei [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] monoton wachsend und beschränkt. Es gelte [mm] $a_n \not= [/mm] 0$ für alle n. Zeigen Sie: [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1)$ [/mm] ist konvergent. |
Guten Morgen,
es gilt [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}>1$ [/mm] und [mm] $\lim_{n \rightarrow \infty}a_{n+1}=\lim_{n \rightarrow \infty}a_n=a$.
[/mm]
Zuerst habe versucht, die Konvergenz mit dem Quotientenkriterium nachzuweisen, bin aber nicht weiter gekommen. Wenn ich dort den Limes a einsetze, erhalte ich einen nicht definierten Ausdruck.
Dann habe ich es mit dem Wurzelkriterium versucht:
[mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}\wurzel[n]{|\frac{a_{n+1}}{a_n}-1|}=\wurzel[n]{|\frac{a}{a}-1|}=\wurzel[n]{0}=0 [/mm] $.
Kann ich das so rechnen oder habe ich es mir hier zu leicht gemacht?
Danke und Gruß,
Palonina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:18 Di 02.12.2008 | | Autor: | Framl |
> Es sei [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] monoton wachsend und beschränkt.
> Es gelte [mm]a_n \not= 0[/mm] für alle n. Zeigen Sie:
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1)[/mm] ist konvergent.
> Guten Morgen,
>
> es gilt [mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}>1[/mm] und [mm]\lim_{n \rightarrow \infty}a_{n+1}=\lim_{n \rightarrow \infty}a_n=a[/mm].
>
> Zuerst habe versucht, die Konvergenz mit dem
> Quotientenkriterium nachzuweisen, bin aber nicht weiter
> gekommen. Wenn ich dort den Limes a einsetze, erhalte ich
> einen nicht definierten Ausdruck.
>
> Dann habe ich es mit dem Wurzelkriterium versucht:
>
> [mm]\lim_{n\rightarrow \infty}\wurzel[n]{|\frac{a_{n+1}}{a_n}-1|}=\wurzel[n]{|\frac{a}{a}-1|}=\wurzel[n]{0}=0 [/mm].
>
>
> Kann ich das so rechnen oder habe ich es mir hier zu leicht
> gemacht?
>
> Danke und Gruß,
> Palonina
Hi,
ja du hast es dir zu leicht gemacht 
Wenn ich so argumentiern würde wie du, dann würde doch auch [mm] $\sum [/mm] 1/n$ konvergieren, da
[mm] $\lim \sqrt[n]{1/n}$"="$ \sqrt[n]{0}=0$ [/mm] ist. Du vernachlässigst den Grenzwertprozess, der für die "n-te" Wurzel stattfindet.
Du sagst auch [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1$ [/mm] - was ist denn, wenn [mm] $a_0=-10$ [/mm] ist und die Folge gegen $-1$ konvergiert? Dann sind alle Folgenglieder negativ und [mm] $a_n
Gruß, Framl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Di 02.12.2008 | | Autor: | Palonina |
>
> Hi,
>
> ja du hast es dir zu leicht gemacht
Das hatte ich befürchtet.
>
> Wenn ich so argumentiern würde wie du, dann würde doch auch
> [mm]\sum 1/n[/mm] konvergieren, da
>
> [mm]\lim \sqrt[n]{1/n}[/mm]"="[mm] \sqrt[n]{0}=0[/mm] ist. Du vernachlässigst
> den Grenzwertprozess, der für die "n-te" Wurzel
> stattfindet.
>
> Du sagst auch [mm]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1[/mm] - was ist denn, wenn
> [mm]a_0=-10[/mm] ist und die Folge gegen [mm]-1[/mm] konvergiert? Dann sind
> alle Folgenglieder negativ und [mm]a_n
[mm]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1[/mm] gilt, da laut Voraussetzung die Folge [mm] $a_n$ [/mm] monoton wachsend ist.
Wie kann ich die Konvergenz denn beweisen?
Gruß,
Palonina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 Di 02.12.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] > 1 ist hier nicht unbedingt richtig. Schau dir nochmal den Einwand von Framl an; der Bruch kann auch kleiner als 1 sein.
Beispiel:
[mm] a_{n} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
ist monoton wachsend und beschränkt, aber der o.g. Bruch ist < 1.
Gruß,
djmatey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Di 02.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> >
> > Hi,
> >
> > ja du hast es dir zu leicht gemacht
>
> Das hatte ich befürchtet.
>
> >
> > Wenn ich so argumentiern würde wie du, dann würde doch auch
> > [mm]\sum 1/n[/mm] konvergieren, da
> >
> > [mm]\lim \sqrt[n]{1/n}[/mm]"="[mm] \sqrt[n]{0}=0[/mm] ist. Du vernachlässigst
> > den Grenzwertprozess, der für die "n-te" Wurzel
> > stattfindet.
> >
> > Du sagst auch [mm]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1[/mm] - was ist denn, wenn
> > [mm]a_0=-10[/mm] ist und die Folge gegen [mm]-1[/mm] konvergiert? Dann sind
> > alle Folgenglieder negativ und [mm]a_n
>
> [mm]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1[/mm] gilt, da laut Voraussetzung die
> Folge [mm]a_n[/mm] monoton wachsend ist.
nein. Erstens heißt "monoton wachsend" nicht "streng monoton wachsend", so dass eine Folge [mm] $(a_{n})_n$ [/mm] genau dann monoton wachsend ist, wenn [mm] $a_{n+1} \green{\ge} a_n$ [/mm] für alle [mm] $\,n\,$ [/mm] gilt; zum anderen liefert [mm] $a_{n+1} \ge a_n$ [/mm] auch nur dann [mm] $a_{n+1}/a_n \ge [/mm] 1$, wenn [mm] $a_n [/mm] > 0$ ist.
Beispiel:
[mm] $a_n:= [/mm] n-5/2$ ist (sogar) streng monoton wachsend. Es gilt aber:
[mm] $$a_2/a_1=\frac{-1/2}{-3/2}=\green{1/3 \le 1}$$
[/mm]
[mm] $$a_3/a_2=\frac{1/2}{-1/2}=\green{-1 \le -1}$$
[/mm]
[mm] $$a_4/a_3 \ge [/mm] 1$$
$$.$$
$$.$$
$$.$$
Abgesehen davon wurde oben auch schon ein Beispiel einer (streng) monoton wachsenden Folge geliefert, wo jeder Quotient [mm] $a_{n+1}/a_n [/mm] < 1$ ist: [mm] $a_n:=-1/n\,:$
[/mm]
[mm] $$a_{n+1}/a_n=\frac{-\frac{1}{n+1}}{-1/n}=\frac{n}{n+1} <1\,. [/mm] $$
Erinnere Dich bitte daran, was mit einem Ungleichheitszeichen bei der Multiplikation mit einer echt negativen Zahl passiert!
Aber Fred hatte ja schon einen Einwand gebracht:
Damit die Aufgabenstellung überhaupt stimmt, muss [mm] $a_n [/mm] > 0$ für (fast) alle [mm] $\,n\,$ [/mm] gelten.
Wir nehmen nun mal an, dass [mm] $a_n [/mm] > 0$ für alle [mm] $\,n\,$ [/mm] gelte (bei "fast alle" kann man mit dem Restglied argumentieren):
Weil [mm] $(a_n)_n$ [/mm] monoton wachsend ist, ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] insbesondere nach unten beschränkt. Ist also [mm] $\underline{a} [/mm] > 0$ eine untere Schranke für [mm] $(a_n)_n$ [/mm] (z.B. kannst Du [mm] $\underline{a}:=a_1$ [/mm] (oder [mm] $\underline{a}:=\frac{a_1}{2}$) [/mm] setzen), so gilt [mm] ($\sum:=\sum_{n=1}^\infty$):
[/mm]
[mm] $$\sum \frac{a_{n+1}-a_n}{a_n} \le \frac{1}{\underline{a}}\sum (a_{n+1}-a_n)$$
[/mm]
Wenn wir jetzt hätten, dass die letztstehende Reihe konvergiert, so wären wir fertig:
[mm] $$\sum (a_{n+1}-a_n)=\lim_{K \to \infty} \left\{\sum_{n=1}^K (a_{n+1}-a_n)\right\}=\lim_{K \to \infty} \left\{\left(\sum_{n=2}^{K+1} a_{n}\right)-\sum_{n=1}^K a_n\right\}=\lim_{K \to \infty} a_{K+1}-a_1\,.$$
[/mm]
Warum existiert der letztstehende Grenzwert (Tipp: Da [mm] $(a_n)_n$ [/mm] monoton wachsend und nach oben beschränkt ist, ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] insbesondere ...).
P.S.:
Siehst Du auch, warum man [mm] $a_n [/mm] > 0$ für (fast) alle [mm] $\,n\,$ [/mm] braucht? Was ginge (evtl.) schief, wenn man das nicht hätte?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 Di 02.12.2008 | | Autor: | Palonina |
Warum existiert der letztstehende Grenzwert (Tipp: Da
> [mm](a_n)_n[/mm] monoton wachsend und nach oben beschränkt ist, ist
> [mm](a_n)_n[/mm] insbesondere ...).
Mit Monotonie und Beschränktheit habe ich die Konvergenz von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] und der Grenzwert existiert.
>
> P.S.:
> Siehst Du auch, warum man [mm]a_n > 0[/mm] für (fast) alle [mm]\,n\,[/mm]
> braucht? Was ginge (evtl.) schief, wenn man das nicht
> hätte?
>
> Gruß,
> Marcel
Ohne nähere Angabe über das Vorzeichen von [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $\underline{a}$ [/mm] kann ich obige Abschätzung nicht machen. Gerade bei Ungleichungen kann da schnell was schiefgehen und ich schätze in die falsche Richtung ab.
Danke für die ausführlichen Erläuterungen. Bin manchmal zu schnell und unüberlegt bei der Sache.
Gruß,
Palonina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 Di 02.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> > Warum existiert der letztstehende Grenzwert (Tipp: Da
> > [mm](a_n)_n[/mm] monoton wachsend und nach oben beschränkt ist, ist
> > [mm](a_n)_n[/mm] insbesondere ...).
>
> Mit Monotonie und Beschränktheit habe ich die Konvergenz
> von [mm](a_n)_n[/mm] und der Grenzwert existiert.
genau
> >
> > P.S.:
> > Siehst Du auch, warum man [mm]a_n > 0[/mm] für (fast) alle [mm]\,n\,[/mm]
> > braucht? Was ginge (evtl.) schief, wenn man das nicht
> > hätte?
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
>
> Ohne nähere Angabe über das Vorzeichen von [mm]a_n[/mm] und
> [mm]\underline{a}[/mm] kann ich obige Abschätzung nicht machen.
> Gerade bei Ungleichungen kann da schnell was schiefgehen
> und ich schätze in die falsche Richtung ab.
Ja, das klingt gut, wenngleich man das noch spezieller sagen kann (wären alle [mm] $a_n [/mm] < 0$, so wäre ja schon [mm] $\underline{a} [/mm] < 0$ etc. pp.; aber ich denke schon, dass Du das selbst auch weiter durchdacht hast).
> Danke für die ausführlichen Erläuterungen. Bin manchmal zu
> schnell und unüberlegt bei der Sache.
Würde ich nicht sagen. Ich bin durch Zufall auf die Ziehharmonikasumme gekommen, weil ich ein Gegenbeispiel basteln wollte; auch ich hatte zunächst den Baum vor lauter Wäldern nicht gesehen ( oder so ähnlich :D ). 
Aber der Lösungsweg ist Dir nun klar; denke bzw. hoffe ich
Ob's mit dem [mm] $\sqrt{\,}-$ [/mm] bzw. Quotientenkriterium auch geht, weiß ich nicht (da hatte ich nach einer Zeile schon keine Lust mehr, rumzurechnen und vll. auch nach geeigneten Abschätzungen zu suchen), aber mit Ziehharmonika und Majo geht's jedenfalls ^^.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Di 02.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Die Aufgabenstellung ist falsch !
Ohne die Vor. [mm] a_n [/mm] >0 für jedes n geht es nicht !
Bsp: [mm] a_n [/mm] = [mm] -\bruch{1}{n}
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Di 02.12.2008 | | Autor: | Palonina |
Ich habe die Aufgabenstellung noch einmal genau gelesen, da steht nur [mm] $a_n \not=0$, [/mm] nicht [mm] $a_n>0$. [/mm] Ich kann also dein Beispiel als Gegenbeispiel bringen oder ich mache die Annahme [mm] $a_n>0$ [/mm] und versuche mich dann an dem Beweis.
Damit wäre ich aber wieder an der Stelle wie schon zu Beginn, welches das geeignete Kriterium ist.
Vielen Dank für eure Hilfe,
Palonina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 Di 02.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe die Aufgabenstellung noch einmal genau gelesen, da
> steht nur [mm]a_n \not=0[/mm], nicht [mm]a_n>0[/mm]. Ich kann also dein
> Beispiel als Gegenbeispiel bringen oder ich mache die
> Annahme [mm]a_n>0[/mm] und versuche mich dann an dem Beweis.
>
> Damit wäre ich aber wieder an der Stelle wie schon zu
> Beginn, welches das geeignete Kriterium ist.
warte bitte meine Antwort oben ab.
Gruß,
Marcel
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