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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz einer Reihe
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Konvergenz einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:42 Mi 10.12.2008
Autor: tedd

Aufgabe
Prüfen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz:

[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n^3+17*n} [/mm]

Also mit Quotientenkriterium komme ich auf folgendes Ergebnis:

[mm] \left|\bruch{(-1)^{n+1}*(n^3+17*n)}{(n+1)^3+17*(n+1)*(-1)^n}\right| [/mm]

[mm] =\bruch{(1)^{n+1}*(n^3+17*n)}{(n+1)^3+17*(n+1)*(1)^n} [/mm]

[mm] =\bruch{n^3+17*n}{n^3+3*n^2+20*n+18}\xrightarrow[n\rightarrow\infty] [/mm] 1 [mm] \to [/mm] keine Aussage über Konvergenz mit Quotientenkriterium möglich...

Probiere ich es mit dem Leibnitzkriterium:

[mm] \bruch{(-1)^n}{n^3+17*n} [/mm] ist eine Nullfolge

[mm] \bruch{1}{n^3+17*n}>\bruch{1}{(n+1)^3+17*(n+1)} [/mm]

[mm] \gdw n^3+3*n^2+3*n+1+17*n+17>n^3+17*n [/mm]

[mm] \gdw 3*n^2+3*n+18>0 [/mm]

Da [mm] n\in\IN [/mm] ist sehe ich sofort, dass die Ungleichung stimmt, also ist die Folge auch betraglich monoton fallend.

Durch [mm] (-1)^n [/mm] im Zähler [mm] \bruch{(-1)^n}{n^3+17*n} [/mm] ist die Folge alternierend.

Deshalb kann ich die Aussage machen, dass die Reihe konvergent ist.
Habe ich alles richtig gemacht?

Danke und Gruß,
tedd

        
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:05 Mi 10.12.2008
Autor: reverend

Ja, alles richtig.

Bezug
                
Bezug
Konvergenz einer Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:11 Mi 10.12.2008
Autor: tedd

Cool,
danke für's drüberschauen reverend :-)

Gruß,
tedd

Bezug
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