Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Fr 26.11.2010 | | Autor: | hilbert |
Ich soll zeigen ob die Reihe konvergent ist.
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n²}{n^4 -6n^3+19n^2-30n+25}
[/mm]
Ich habe erstmal rumgerechnet und gekürzt und komme dann auf folgende Reihe:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n}{n²-3n+5}.
[/mm]
Meine Idee waren zuerst Quotienten oder Wurzelkriterium.
Habe lang rumgerechnet, komme aber leider zu keinem Ergebnis.
Jetzt habe ich eine neue Idee, und zwar will ich zeigen, dass
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n}{n²-3n+5} [/mm] eine konvergente Majorante besitzt.
Ich glaube [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n}{n²-3n+5} \le \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{k}{n²}
[/mm]
Wobei ich [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{k}{n²} [/mm] als k * [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n²} [/mm] schreiben kann und diese Reihe konvergiert dann gegen k * [mm] bruch{\pi}{6}
[/mm]
Leider komme ich da auch nicht weiter.
Vielen Dank für eure Tipps und Hilfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 Fr 26.11.2010 | | Autor: | hilbert |
Die andere Möglichkeit wäre natürlich zu zeigen, dass es > k/n ist.
Und damit > k * die harmonische Reihe und damit divergent.
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Hallo,
> Ich soll zeigen ob die Reihe konvergent ist.
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n²}{n^4 -6n^3+19n^2-30n+25}[/mm]
Wenn der Laufindex tatsächlich i ist, so addierst du unendlich oft eine Konstante, die Reihe ist also divergent
Vermutlich meinst du [mm]\sum\limits_{\red{n=1}}^{\infty}\ldots[/mm]
>
> Ich habe erstmal rumgerechnet und gekürzt und komme dann
> auf folgende Reihe:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n}{n²-3n+5}.[/mm]
Aha, wie kommst du darauf?
Das sieht sehr falsch aus.
Die Ausgangsreihe ist doch von der Größenordnung [mm]\sum\frac{1}{n^3}[/mm]
Und Reihe des Tys [mm]\sum\frac{1}{n^s}[/mm] sind für [mm]s>1[/mm] konvergent und für [mm]s\le 1[/mm] divergent
Schätze also gegen eine (Variante) der Reihe [mm]\sum\frac{1}{n^3}[/mm] ab und du hast eine konvergente Majorante
>
> Meine Idee waren zuerst Quotienten oder Wurzelkriterium.
> Habe lang rumgerechnet, komme aber leider zu keinem
> Ergebnis.
> Jetzt habe ich eine neue Idee, und zwar will ich zeigen,
> dass
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n}{n²-3n+5}[/mm] eine konvergente
> Majorante besitzt.
> Ich glaube [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n}{n²-3n+5} \le \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{k}{n²}[/mm]
>
> Wobei ich [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{k}{n²}[/mm] als k *
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n²}[/mm] schreiben kann und
> diese Reihe konvergiert dann gegen k * [mm]bruch{\pi}{6}[/mm]
>
>
> Leider komme ich da auch nicht weiter.
>
> Vielen Dank für eure Tipps und Hilfen.
Gruß
schachuzipus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Fr 26.11.2010 | | Autor: | hilbert |
Leider hat der Formeleditor das Quadrat nicht mitgenommen.
$ [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n}{n^4 -6n^3+19n^2-30n+25} [/mm] $
soll in Wirklichkeit
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^2}{n^4 -6n^3+19n^2-30n+25} [/mm] $
sein.
Dann kann man Nenner so umschreiben:
[mm] n^4 -6n^3+19n^2-30n+25 [/mm] = [mm] (n^2 [/mm] -3n [mm] +5)^2
[/mm]
Also fehlt bei der Summe die rauskommt auch noch ein Quadrat.
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n}{n^2 -3n +5} [/mm] $
kan ich diese Reihe mit 1/n oder 1/n² abschätzen?
Oder ist das Wurzel-/Quotienten- Kriterium hier einfacher?
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Hallo nochmal,
> Leider hat der Formeleditor das Quadrat nicht mitgenommen.
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n}{n^4 -6n^3+19n^2-30n+25}[/mm]
>
> soll in Wirklichkeit
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^2}{n^4 -6n^3+19n^2-30n+25}[/mm]
Na gut, das ist doch von der Größenordnung [mm] $\frac{1}{n^2}$, [/mm] also auch konvergent
>
> sein.
>
> Dann kann man Nenner so umschreiben:
>
> [mm]n^4 -6n^3+19n^2-30n+25[/mm] = [mm](n^2[/mm] -3n [mm]+5)^2[/mm]
>
> Also fehlt bei der Summe die rauskommt auch noch ein
> Quadrat.
>
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n}{n^2 -3n +5}[/mm]
Das wäre nun divergent, ich kapiere nicht, wie du von der konvergenten Ausgangsreihe zu dieser divergenten kommst.
Selbst wenn du den Nenner so umschreibst, so ist dessen höchste Potenz immer noch [mm] $(n^2)^2=n^4$
[/mm]
Die höchste Potenz im Zähler ist [mm] $n^2$
[/mm]
Macht insgesamt was in [mm] $O(\frac{1}{n^2})$
[/mm]
>
>
> kan ich diese Reihe mit 1/n oder 1/n² abschätzen?
Sie ist konvergent, schätze mit dem Vergleichskriterium gegen eine Variante der Reihe [mm] $\sum\frac{1}{n^2}$ [/mm] als konvergenter Majorante ab
> Oder ist das Wurzel-/Quotienten- Kriterium hier einfacher?
Versuch's doch mal damit ...
Das Einfachste ist hier das Majorantenkrit (Vergl.krit.)
Gruß
schachuzipus
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