Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{n^2-1}} [/mm] |
Hallo zusammen,
wollte es mit ddm Wurzelkriterium versuchen, das ja besagt: sei [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] eine Reihe in einem Banachraum U. Sei [mm] q\in\IR [/mm] definiert:
[mm] q:=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{||a_{n}||_{U}}
[/mm]
1)q<0: Die Reihe konvergiert absolut
2)q>0: die Reihe divergiert
3)q=0: konvergenzverhalten unbekannt.
Wenn ich meine Reihe einsetze, erhalte ich für q:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{||\bruch{1}{\wurzel{n^2-1}}||}
[/mm]
Jetzt ist natürlich die große Frage, wie ich diesen Grenzwertbestimme, bzw geschickt abschätzen kann um Aussagen über q zu treffen? Sehe nicht so recht, wie ich jetzt weiter mache
Gruß
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Hallo Theoretix,
> Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz:
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> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{n^2-1}}[/mm]
> Hallo zusammen,
> wollte es mit ddm Wurzelkriterium versuchen, das ja besagt:
> sei [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{n}[/mm] eine Reihe in einem
> Banachraum U. Sei [mm]q\in\IR[/mm] definiert:
> [mm]q:=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{||a_{n}||_{U}}[/mm]
> 1)q<0: Die Reihe konvergiert absolut
> 2)q>0: die Reihe divergiert
> 3)q=0: konvergenzverhalten unbekannt.
Hää?
Du solltest dir das WK unbedingt nochmal anschauen, das ist grober Unfug, was du da schreibst!
Und wieso bläst du überhaupt die Sache so auf?
Reicht nicht [mm]\IR[/mm] mit dem "normalen" Betrag als Norm völlig aus ??
>
> Wenn ich meine Reihe einsetze, erhalte ich für q:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{||\bruch{1}{\wurzel{n^2-1}}||}[/mm]
>
> Jetzt ist natürlich die große Frage, wie ich diesen
> Grenzwertbestimme, bzw geschickt abschätzen kann um
> Aussagen über q zu treffen? Sehe nicht so recht, wie ich
> jetzt weiter mache
[mm]\sqrt[n]{n}\longrightarrow 1[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm], du erhältst also 1 als GW mit dem WK.
Das hilft dir also nix
Diesen Schnickschnack brauchst du auch gar nicht.
Schaue dir die Reihe doch mal genau an!
Für große [mm]n[/mm] spielt doch die -1 keine Rolle, die Reihe ist also von der Größenordnung [mm]\sum\frac{1}{\sqrt{n^2}}=\sum\frac{1}{n}[/mm], also wie eine harmonische Reihe.
Damit weißt du, dass die Ausgangsreihe divergent ist.
Bemühe das Vergleichskriterium, um gegen eine harmonische Reihe als divergenter Minorante abzuschätzen!
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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> Hää?
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> Du solltest dir das WK unbedingt nochmal anschauen, das ist
> grober Unfug, was du da schreibst!
Das verstehe ich jetzt absolut nicht, warum ist das grober Unfug, was ich da geschrieben habe? Habe doch lediglich das Wurzelkriterium abgeschrieben, was war daran falsch?
> Und wieso bläst du überhaupt die Sache so auf?
>
> Reicht nicht [mm]\IR[/mm] mit dem "normalen" Betrag als Norm völlig
> aus ??
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> >
> > Wenn ich meine Reihe einsetze, erhalte ich für q:
> >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{||\bruch{1}{\wurzel{n^2-1}}||}[/mm]
> >
> > Jetzt ist natürlich die große Frage, wie ich diesen
> > Grenzwertbestimme, bzw geschickt abschätzen kann um
> > Aussagen über q zu treffen? Sehe nicht so recht, wie ich
> > jetzt weiter mache
>
> [mm]\sqrt[n]{n}\longrightarrow 1[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm], du erhältst
> also 1 als GW mit dem WK.
>
> Das hilft dir also nix
>
> Diesen Schnickschnack brauchst du auch gar nicht.
>
> Schaue dir die Reihe doch mal genau an!
>
> Für große [mm]n[/mm] spielt doch die -1 keine Rolle, die Reihe ist
> also von der Größenordnung
> [mm]\sum\frac{1}{\sqrt{n^2}}=\sum\frac{1}{n}[/mm], also wie eine
> harmonische Reihe.
>
> Damit weißt du, dass die Ausgangsreihe divergent ist.
>
> Bemühe das Vergleichskriterium, um gegen eine harmonische
> Reihe als divergenter Minorante abzuschätzen!
Das macht erstmal schon Sinn so, nur wenn ich schreibe, dass die 1 für große n keine Rolle spielt, wird mir das wahrscheinlich als mathematisch unpräzise angekreidet, oder?=)
Wenn ich doch jetzt schon weiß, dass die Reihe divergiert, weshalb muss ich dann noch das Majorantenkriterium verwenden, um die Reihe abzuschätzen?? Verstehe ich nicht so ganz, sry!
Gruß
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Hallo nochmal,
> > Hää?
> >
> > Du solltest dir das WK unbedingt nochmal anschauen, das ist
> > grober Unfug, was du da schreibst!
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> Das verstehe ich jetzt absolut nicht, warum ist das grober
> Unfug, was ich da geschrieben habe? Habe doch lediglich das
> Wurzelkriterium abgeschrieben, was war daran falsch?
Dann hast du falsch abgeschrieben.
Der kritische GW ist nicht [mm]q=0[/mm], sondern [mm]q=1[/mm]
Schau dir das WK nochmal an (aber das sagte ich bereits)
>
> > Und wieso bläst du überhaupt die Sache so auf?
> >
> > Reicht nicht [mm]\IR[/mm] mit dem "normalen" Betrag als Norm völlig
> > aus ??
> >
> > >
> > > Wenn ich meine Reihe einsetze, erhalte ich für q:
> > >
> > >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{||\bruch{1}{\wurzel{n^2-1}}||}[/mm]
> > >
> > > Jetzt ist natürlich die große Frage, wie ich diesen
> > > Grenzwertbestimme, bzw geschickt abschätzen kann um
> > > Aussagen über q zu treffen? Sehe nicht so recht, wie ich
> > > jetzt weiter mache
> >
> > [mm]\sqrt[n]{n}\longrightarrow 1[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm], du erhältst
> > also 1 als GW mit dem WK.
> >
> > Das hilft dir also nix
> >
> > Diesen Schnickschnack brauchst du auch gar nicht.
> >
> > Schaue dir die Reihe doch mal genau an!
> >
> > Für große [mm]n[/mm] spielt doch die -1 keine Rolle, die Reihe ist
> > also von der Größenordnung
> > [mm]\sum\frac{1}{\sqrt{n^2}}=\sum\frac{1}{n}[/mm], also wie eine
> > harmonische Reihe.
> >
> > Damit weißt du, dass die Ausgangsreihe divergent ist.
> >
> > Bemühe das Vergleichskriterium, um gegen eine harmonische
> > Reihe als divergenter Minorante abzuschätzen!
>
> Das macht erstmal schon Sinn so, nur wenn ich schreibe,
> dass die 1 für große n keine Rolle spielt, wird mir das
> wahrscheinlich als mathematisch unpräzise angekreidet,
> oder?=)
Das ist ja nur für dich als Anhaltspunkt gedacht, damit du weißt, wie sich die Reihe verhält, was Konvergenz/Divergenz angeht.
Mathematisch musst du das mit einer simplen Abschätzung begründen:
Es ist [mm]n^2-1
Damit [mm]\frac{1}{\sqrt{n^2-1}} \ > \ \frac{1}{\sqrt{n^2}}[/mm]
Also [mm]\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2-1}} \ > \ \sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2}} \ = \ \sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n}[/mm]
Du hast also eine Minorante (kleinere Reihe) zu deiner Ausgangsreihe gefunden, die bekanntermaßen divergent ist (harmonische Reihe)
Also divergiert deine Reihe nach dem Vegleichskriterium (Majoranten-/Minorantenkrit.) ebenfalls:
Anschaulich: was bleibt da deiner (noch) größeren Reihe übrig als auch zu divergieren, wenn die kleinere harmonische Reihe schon gegen [mm]\infty[/mm] abhaut
> Wenn ich doch jetzt schon weiß, dass die Reihe
> divergiert, weshalb muss ich dann noch das
> Majorantenkriterium verwenden, um die Reihe abzuschätzen??
> Verstehe ich nicht so ganz, sry!
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Do 20.01.2011 | | Autor: | Theoretix |
Dankeschön für die Ausführung, hat mir sehr geholfen!
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}n^24^{-n} [/mm] |
Hallo, meine Reihe kann ich doch äquivalent schreiben:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^2}{4^n}, [/mm] oder?
Jetzt könnte ich doch z.B. das Quotientenkriterium anwenden und bekomme für
[mm] q:=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} [/mm] einer Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}:
[/mm]
[mm] q=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|(n+1)^2|}{|4^n|}
[/mm]
Falls das soweit korrekt ist, müsste ich ja fast fertig sein, denn diese Folge müsste doch gegen 0 konvergieren.
Aber wieder mal das problem: wie zeige ich diese Konvergenz. Ich sehe z.b. keinen gemeinsamen faktor in zähler und nenner den ich ausklammern könnte um weiter mit grenzwertsätzem zu arbeiten?
Ist wahrscheinlich nahezu trivial, aber ich sehe es momentan nicht.
Gruß
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Hallo nochmal,
bitte neue Fragen auch in neuen threads stellen!
> Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}n^24^{-n}[/mm]
> Hallo, meine Reihe kann ich doch äquivalent schreiben:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^2}{4^n},[/mm] oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Klar!
>
> Jetzt könnte ich doch z.B. das Quotientenkriterium
> anwenden und bekomme für
>
> [mm]q:=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] einer
> Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}:[/mm]
>
> [mm]q=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|(n+1)^2|}{|4^n|}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist [mm]a_{n+1}[/mm] doch [mm]=\frac{(n+1)^2}{4^{n+1}}[/mm] und [mm]a_n=\frac{n^2}{4^n}[/mm]
Mithin [mm]\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{1}{4}\cdot{}\frac{(n+1)^2}{n^2}[/mm]
Nun untersuche, was hier für [mm]n\to\infty[/mm] passiert ...
Alternativ kannst du auch sehr gut das WK hernehmen ...
>
> Falls das soweit korrekt ist, müsste ich ja fast fertig
> sein, denn diese Folge müsste doch gegen 0 konvergieren.
![[stop]](/images/smileys/stop.gif "[stop]")
Wovon sprichst du?
Wenn du eine Reihe [mm]\sum a_n[/mm] hast, so ist ein NOTWENDIGES Kriterium für Konvergenz der Reihe, dass die FOLGE der Reihenglieder, also [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Nullfolge ist.
Hinreichend ist das Kriterium (Trivialkrit.) nicht, wie du an der harmonischen Reihe sehen kannst [mm]\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}[/mm] ist Nullfolge, die zugeh. Reihe [mm]\sum\frac{1}{n}[/mm] divergiert aber bekanntermaßen.
Wenn also [mm](a_n)_n[/mm] eine Nullfolge ist, KANN die zugeh. Reihe [mm]\sum a_n[/mm] konvergieren, muss sie aber nicht.
Was du aber sagen kannst, ist, dass wenn [mm](a_n)_n[/mm] KEINE Nullfolge ist, die zugeh. Reihe [mm]\sum a_n[/mm] SICHER DIVERGIERT
Und, selbst wenn [mm](a_n)_n[/mm] eine Nullfolge ist, kannst du noch lange nix über den evtl. Reihenwert [mm]\sum a_n[/mm] aussagen, insbesondere kannst du nicht schließen, dass das 0 ist ...
> Aber wieder mal das problem: wie zeige ich diese
> Konvergenz. Ich sehe z.b. keinen gemeinsamen faktor in
> zähler und nenner den ich ausklammern könnte um weiter
> mit grenzwertsätzem zu arbeiten?
Schaue dir oben nochmal meinen Quotienten [mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}[/mm] an.
Dessen GW ist (gem. QK) zu bestimmen.
Ist dieser GW [mm]=q<1[/mm], so hast du (absolute) Konvergenz der Reihe [mm]\sum a_n[/mm], ist er [mm]=q>1[/mm], hast du Divergenz der Reihe [mm]\sum a_n[/mm].
Ist er [mm]q=1[/mm], so kannst du mit dem QK keine Aussage treffen und musst ggfs. ein anderes Konvergenzkriterium heranziehen.
>
> Ist wahrscheinlich nahezu trivial, aber ich sehe es
> momentan nicht.
Das liegt möglicherweise daran, dass du Reihe und Folge der Reihenglieder zu verwechseln scheinst ...
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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Puh, danke für die schnelle ausführliche Antwort, das war ein ganz billiger Leichtsinnsfehler!
Also wir haben ja jetzt für [mm] q=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{4}\bruch{(n+1)^2}{n^2}
[/mm]
Jetzt gibt es doch so einen Satz der Besagt dass so ein Bruch für n gegen unendlich mit Zählergrad=Nennergrad gegen die Koeffizienten der höchsten Potenz konvergiert, oder?
Also in diesem Fall [mm] \bruch{1}{4}, [/mm] damit wäre q<1 und damit die Reihe konvergent?
P.S. Diese Geschichte mit Zählergrad=Nennergrad muss man für einen sauberen aufschrieb nicht weiter begründen, oder? Oder kann man das noch etwas eleganter ausdrücken?
Gruß
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> Puh, danke für die schnelle ausführliche Antwort, das war
> ein ganz billiger Leichtsinnsfehler!
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> Also wir haben ja jetzt für
> [mm]q=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{4}\bruch{(n+1)^1}{n^2}[/mm]
> Jetzt gibt es doch so einen Satz der Besagt dass so ein
> Bruch für n gegen unendlich mit Zählergrad=Nennergrad
> gegen die Koeffizienten der höchsten Potenz konvergiert,
> oder?
> Also in diesem Fall [mm]\bruch{1}{4},[/mm] damit wäre q<1 und
> damit die Reihe konvergent?
>
> P.S. Diese Geschichte mit Zählergrad=Nennergrad muss man
> für einen sauberen aufschrieb nicht weiter begründen,
> oder? Oder kann man das noch etwas eleganter ausdrücken?
Du kannst [mm] n^{k} [/mm] ausklammern, wobei k der höchste vorkommende Exponent ist. Dann bekommst du (in diesem Fall) eine Zahl im Zähler und eine im Nenner und dazu werden noch Terme addiert/subtrahiert, die für n [mm] \to \infty [/mm] alle gegen 0 gehen. Mit den Grenzwertsätzen kannst du dann den dir bekannten Sachverhalt begründen.
Das funktioniert dann genauso, wenn Zähler und Nenner einen unterschiedlich größten Exponenten haben (Konvergenz gegen 0 oder keine Konvergenz).
Ob du das jetzt noch so argumentieren musst, hängt sicher vom Kontext dieser Reihenuntersuchung ab, da man das in vielen Fällen bestimmt als bekannt voraussetzen kann.
>
> Gruß
lg weightgainer
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