Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Di 27.12.2011 | | Autor: | tnbt |
Hallo,
1.Reihe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] = [mm] \bruch{n^2}{2^n}
[/mm]
Quotientenkriterium:
[mm] \vmat{ \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} } [/mm] = [mm] \vmat{ \bruch{(n+1)^2}{2*2^n}*\bruch{2^n}{n^2}} [/mm] = [mm] \vmat{ \bruch{(n+1)^2}{2n^2} } [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \vmat{ \bruch{(n+1)^2}{n^2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \vmat{ (1+ \bruch{1}{n})^2} [/mm] = [mm] \bruch{e}{2} [/mm] > 1 divergent
2.Reihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)^{n}^{2}}{n^{n}^{2} 2^{n}}
[/mm]
Wurzelkriterium:
[mm] \wurzel[n]{\vmat{a_{n} }} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{\vmat{ \bruch{(n+1)^{n}^{2}}{n^{n}^{2} 2^{n}} }} [/mm] = [mm] \vmat{ \bruch{(n+1)^2}{2n^2} } [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \vmat{ \bruch{(n+1)^2}{n^2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \vmat{ (1+ \bruch{1}{n})^2} [/mm] = [mm] \bruch{e}{2} [/mm] > 1 divergent
Laut den Lösungen stimmt die Divergenz der 2.Reihe, aber die erste Reihe konvergiert laut den Lösungen. Kann mir da jemand weiterhelfen?
Gruß
tnbt
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> 1.Reihe:
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> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] = [mm]\bruch{n^2}{2^n}[/mm]
> Quotientenkriterium:
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> [mm]\vmat{ \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} }[/mm] = [mm]\vmat{ \bruch{(n+1)^2}{2*2^n}*\bruch{2^n}{n^2}}[/mm]
> = [mm]\vmat{ \bruch{(n+1)^2}{2n^2} }[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} \vmat{ \bruch{(n+1)^2}{n^2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2} \vmat{ (1+ \bruch{1}{n})^2}[/mm] = [mm]\bruch{e}{2}[/mm] >
> 1 divergent
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du scheinst zu denken, daß [mm] \lim{n\to\infty}(1+ \bruch{1}{n})^2=e.
[/mm]
Dies ist aber nicht der Fall...
>
> 2.Reihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] = [mm]\bruch{(n+1)^{n}^{2}}{n^{n}^{2} 2^{n}}[/mm]
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> Wurzelkriterium:
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> [mm]\wurzel[n]{\vmat{a_{n} }}[/mm] = [mm]\wurzel[n]{\vmat{ \bruch{(n+1)^{{n}^{2}}}{n^{{n}^{2}} 2^{n}} }}[/mm]
> = [mm]\vmat{ \bruch{(n+1)^2}{2n^2} }[/mm]
Hier unterläuft Dir ein weiterer Fehler:
es ist [mm] \wurzel[n]{x^{n^2} }\not=x^2.
[/mm]
[mm] x^{n^2}=x^{n*n}=(x^n)^n.
[/mm]
Gruß v. Angela
> = [mm]\bruch{1}{2} \vmat{ \bruch{(n+1)^2}{n^2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2} \vmat{ (1+ \bruch{1}{n})^2}[/mm] = [mm]\bruch{e}{2}[/mm] >
> 1 divergent
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> Laut den Lösungen stimmt die Divergenz der 2.Reihe, aber
> die erste Reihe konvergiert laut den Lösungen. Kann mir da
> jemand weiterhelfen?
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> Gruß
> tnbt
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Di 27.12.2011 | | Autor: | tnbt |
Hi,
Danke für die Korrektur
2.Reihe
[mm] \vmat{ \wurzel[n]{\bruch{((n+1)^n)^n}{(n^n)^n *2^n}} } [/mm] = [mm] \vmat{ {\bruch{(n+1)^n}{n^n * 2}} } [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \vmat{ {\bruch{(n+1)^n}{n^n }} } [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \vmat{( 1+{\bruch{1}{n })^n} } [/mm] = [mm] \bruch{e}{2} [/mm] > 1 divergent
stimmt das so?
und ich glaube die 1.Reihe konvergiert gegen [mm] \bruch{1}{2} [/mm] da im Betrag
[mm] \vmat{(1+ \bruch{1}{n})^2} [/mm] gegen 1 konvergiert, da [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] gegen 0 konvergiert
stimmt das auch?
Gruß tnbt
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Hallo,
ja, jetzt hast Du's.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Di 27.12.2011 | | Autor: | tnbt |
Danke
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