Konvergenz einer Reihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Folgende Reihe soll auf Konvergenz untersucht werden:
[mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{3 * sin(2k)}{2k^3}.
[/mm]
In meiner Lösung wird die Aufgabe folgendermaßen bearbeitet:
[mm] \summe_{k=1}^{n} |\bruch{3 * sin(2k)}{2k^3}| [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{|sin(2k)|}{k^3} \le \bruch{3}{2} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k^3} \le \bruch{3}{2} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k^2}.
[/mm]
Daraus folgt, dass die Reihe konvergent ist.
Die Rechenschritte sind mir klar, allerdings kann ich die Schlussfolgerung nicht nachvollziehen.
Vielen Dank.
P.S. Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite und in keinem anderen Forum gestellt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Sa 10.09.2005 | | Autor: | ze335 |
Hallo,
die Schlussfolgerung ergibt sich z.B. nach dem Majorantenkriterium für Reihen. D.h. deine Ursprungsreihe ist konvergent wenn es eine majorisierende Reihe mit [mm] |a_{n}| [/mm] <= [mm] b_{n} [/mm] für fast alle n [mm] \in [/mm] N gibt.
Nach dem Quotientenkriterium ist [mm] \summe_{i=1}^{n} 1/k^{2} [/mm] eine solche Reihe (d.h. | [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] < 1 für fast alle n [mm] \in [/mm] N).
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