Konvergenz einer rekursiven Fo < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Do 14.06.2012 | | Autor: | s1mn |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Grenzwert der Folge [mm] (a_{n}) [/mm] (n [mm] \in \IN_{0}) [/mm] mit [mm] a_{0} [/mm] := 2 und [mm] a_{n+1} [/mm] := [mm] \bruch{a_{n}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{a_{n}}. [/mm] |
Hey Leute,
Hab folgendes Problem.
Ich hab nen Ansatz für den Grenzwert durch Fixpunktbestimmung.
Da kommt [mm] \wurzel{2} [/mm] und [mm] -\wurzel{2} [/mm] raus.
Hab allerdings in nem Buch ein Beispiel zu selbiger Folge gesehn, in dem steht, dass [mm] \wurzel{2} [/mm] der Grenzwert der Folge ist.
Jetzt ist mein Problem allerdings folgendes.
Ich soll den Grenzwert der Folge ja berechnen ...
Aber die Fixpunktbestimmung ist laut meinem Tutor ja kein wirkliches mathematisches Vorgehen, da ja nicht gewährleistet ist, dass ein Fixpunkt ein Grenzwert ist.
Das Problem ist: ich weiss ehrlichgesagt nicht wie ich mit ner rekursiven Folge vorgehen soll.
Habs bereits mit [mm] \varepsilon [/mm] Kriterium und dem Cauchy Kriterium versucht, allerdings kam ich dabei auf kein Ergebnis...
Könnte ihr mir vllt erklärn wie ich bei ner rekurisven Folge vorgehen sollte ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Do 14.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
eine folge ist konvergent, wenn sie eine untere schranke hat (zeigen) und monoton fällt, oder eine obere und monoton steigt. dabei muss die monotonie und Schranke nicht ab [mm] a_1 [/mm] gelten sondern kann bei einem festen n>1 anfangen.
also schreib die paar ersten glieder hin, dann siehst du ob wachsend oder fallend. dann such eine entsprechende Schranke und zeig dann die Monotonie.
wenn du das beides hast gilt [mm] lima_n=lima_{n+1}=a [/mm] und du kannst den GW bestimmen.
Übrigens, mein erster satz kam sicher in ähnlicher form in der vorlesg vor. Übungen sind da um die Vorlesung zu wiederholen, und zu vertiefen, nicht eigentlich um dich zu quälen, quälen tust du dich, wenn du die übungen versuchst ohne die vorlesung nachzuarbeiten u.U mit blick auf die übungszettel!
gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Do 14.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen Sie den Grenzwert der Folge [mm](a_{n})[/mm] (n [mm]\in \IN_{0})[/mm]
> mit [mm]a_{0}[/mm] := 2 und [mm]a_{n+1}[/mm] := [mm]\bruch{a_{n}}{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{a_{n}}.[/mm]
> Hey Leute,
>
> Hab folgendes Problem.
> Ich hab nen Ansatz für den Grenzwert durch
> Fixpunktbestimmung.
> Da kommt [mm]\wurzel{2}[/mm] und [mm]-\wurzel{2}[/mm] raus.
ein Grenzwert ist immer eindeutig bestimmt (jedenfalls in einem metrischen Raum). Dein Resultat erhält man auch, wenn man erstmal die Konvergenz der Folge annimmt. Dann weiß man: Wenn diese Folge konvergiert, dann kann sie nur entweder gegen [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] oder gegen [mm] $-\sqrt{2}$ [/mm] konvergieren. Da aber alle Folgenglieder [mm] $\ge [/mm] 0$ sind, kommt [mm] $-\sqrt{2}$ [/mm] gar nicht in Frage. Bisher weißt Du also nur: Wenn die Folge denn wirklich konvergieren sollte, dann NOTWENDIGERWEISE gegen [mm] $\sqrt{2}\,.$ [/mm] (Und wenn Du nun die Konvergenz beweißt, dann brauchst Du danach nicht mehr den Grenzwert berechnen. Denn wir wissen wir nun schon, dass das nur noch [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] sein kann!)
> Hab allerdings in nem Buch ein Beispiel zu selbiger Folge
> gesehn, in dem steht, dass [mm]\wurzel{2}[/mm] der Grenzwert der
> Folge ist.
Natürlich. Wie soll eine Folge in [mm] $\IR\,,$ [/mm] deren Folgeglieder alle [mm] $\ge [/mm] 0$ sind, denn gegen eine Zahl $< [mm] 0\,$ [/mm] konvergieren?
> Jetzt ist mein Problem allerdings folgendes.
> Ich soll den Grenzwert der Folge ja berechnen ...
> Aber die Fixpunktbestimmung ist laut meinem Tutor ja kein
> wirkliches mathematisches Vorgehen,
Was denn sonst? Ein Messreihenverfahren? Natürlich ist das mathematisch. Eine andere Sache ist vielleicht die, ob so, wie Du vorgegangen bist, Du überhaupt schon irgendwie folgern kannst, dass die Folge denn konvergiere... Denn das ist noch absolut unklar!
> da ja nicht
> gewährleistet ist, dass ein Fixpunkt ein Grenzwert ist.
>
> Das Problem ist: ich weiss ehrlichgesagt nicht wie ich mit
> ner rekursiven Folge vorgehen soll.
> Habs bereits mit [mm]\varepsilon[/mm] Kriterium und dem Cauchy
> Kriterium versucht, allerdings kam ich dabei auf kein
> Ergebnis...
Siehe Leduart: Hinreichend für die Konvergenz einer monoton wachsenden Folge reeller Zahlen ist es, dass die Folge nach oben beschränkt ist. Eine analoge Formulierung existiert für "monoton fallend" mit "nach unten beschränkt". Also teste erstmal auf Monotonie. (Es reicht auch, wenn die Folge erst ab einem bestimmten Folgeglied monoton ist!)
> Könnte ihr mir vllt erklärn wie ich bei ner rekurisven
> Folge vorgehen sollte ?
Wenn's immer noch (trotz Leduarts Hinweisen!) total unklar ist:
Man findet solche Folgen auch unter dem Stichwort:
Babylonisches Wurzelziehen!
Tipp zur Monotonie:
Zeige, dass [mm] $a_n [/mm] > 0$ für alle [mm] $n\,$ [/mm] gilt. Danach arbeite etwa mit [mm] $a_{n+1}/a_n$...
[/mm]
Gruß,
Marcel
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