Konvergenz fast sicher < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 Di 13.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Tag Leute,
nur ne kurze Frage zur fast sicheren Konvergenz.
Also sei [mm] (X_i)_{i\in{\IN}} [/mm] i.i.d. mit [mm] X_1\sim{Ber\Big(\bruch{1}{2}\Big)}\text{ und }S_n:=\sum_{i=1}^n X_i.
[/mm]
Dann sagt mir ja das starke Gesetz der großen Zahlen, dass [mm] \bruch{S_n}{n} [/mm] fast sicher gegen [mm] E[X_1]=\bruch{1}{2} [/mm] konvergiert.
Soweit so gut, aber kann ich daraus nun auch schließen, dass [mm] \Big(\bruch{S_n}{n}\Big)^2 [/mm] fast sicher konvergiert?? Wenn ja wogegen, vielleicht [mm] \bruch{1}{4}?
[/mm]
Ich dachte man könnte doch sagen [mm] P\left[\Big(\bruch{S_n}{n}\Big)^2=\bruch{1}{4}\right]=P\left[\bruch{S_n}{n}=\bruch{1}{2}\right]=1 [/mm] oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Di 13.07.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
betrachte mal eine snv ZV und deren Quadrat dann wirst du sofort sehen, dass deine Argumentation nicht funktionieren kann, abgesehen davon fehlen die Grenzwerte in deiner Argumentation was das hauptproblem darstellt denn willst du erst quadrieren und dann grenzwert bilden oder andersrum.
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Di 13.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Vielen Dank für den Hinweis.
Gut das war dann doch Blödsinn.
Also nochmal ich hab eine Folge von ZV [mm] Y_n:=\left(\bruch{S_n}{n}\right)^2 [/mm] und möchte wissen, ob bzw. wogegen diese fast sicher konvergiert.
Das starke Gesetz der großen Zahlen sagt mir ja nur, dass [mm] \bruch{S_n}{n} [/mm] fast sicher gegen [mm] E[X_1]=\bruch{1}{2} [/mm] konvergiert.
Wie geh ich nun bei meiner Folge [mm] Y_n [/mm] vor??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Di 13.07.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
das ist meiner meinung nach nicht so offensichtlich. Ein standartisiertes vorgehen gibt es meines wissens nach nicht. Also selbst versuchen einen Nachweis zu führen.
Lasse mich gerne eines besseren belehren .-)
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Di 13.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Ich war eigentlich auch nicht auf der Suche nach einem Schema F  .
Wär halt schön, wenn jemand an Tipp hätte wie ich hier die fast sichere Konvergenz nachrechnen kann.
Oder ist für die Folge der [mm] Y_n [/mm] womöglich gar keine Konvergenz gegeben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Di 13.07.2010 | | Autor: | vivo |
ja ich denke das ist nicht unbedingt auszuschließen.
meiner meinung nach musst du versuchen dies individuell nachzuweisen
(wie auch immer ...)
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Di 13.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Ja gut da kann ich mir jetzt auch nix von kaufen .
Vielleicht hat jemand anders ne Idee oder an Tipp, wie man die fast sichere Konvergenz von [mm] Y_n:=\left(\bruch{S_n}{n}\right)^2 [/mm] nachweist?!
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Huhu,
es gilt doch
[mm] $\lim_{n\to\infty}\bruch{S_n}{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \,\IP [/mm] f.s.$
[mm] \gdw $\lim_{n\to\infty}(\bruch{S_n}{n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] = [mm] 0\,\IP [/mm] f.s.$
daraus folgt nun direkt:
[mm] $\lim_{n\to\infty}(\left(\bruch{S_n}{n}\right)^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}(\bruch{S_n}{n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2})(\bruch{S_n}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}(\bruch{S_n}{n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] * [mm] \lim_{n\to\infty}(\bruch{S_n}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] = 0 * 1 = 0 [mm] \,\IP [/mm] f.s.$
[mm] $\Rightarrow \lim_{n\to\infty}(\left(\bruch{S_n}{n}\right)^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} \,\IP [/mm] f.s.$
MFG,
Gono.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Di 13.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Hey vielen Dank!!
Eine Frage noch: Wenn ich gar nicht weiß dass das Ganze gegen [mm] \bruch{1}{4} [/mm] konvergiert, sondern schlichtweg keine Ahnung hab, ob es überhaupt konvergiert, so wie es hier ja im Prinzip der Fall war, wie geh ich dann vor??
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Huhu,
wir reden hier von punktweiser Konvergenz, da gelten die gleichen Grenzwertsätze wie bei jeder normalen reellen Folge, d.h.
[mm] $\lim_{n\to\infty}Y_n^2 [/mm] = [mm] (\lim_{n\to\infty}Y_n)^2$ [/mm] und ja, das bedeutet mein Weg war schön aber umständlich 
Beachte aber: "Hier gelten die gleichen Grenzwertsätze wie bei rellen Folgen" beinhaltet natürlich, sofern die Einzelgrenzwerte existieren!
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:22 Di 13.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Ach so ist das! Na hätte mir das mal jemand früher gesagt .
Herzlichsten Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Mi 14.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Eine Frage noch:
Wenn du sagst wir sprechen hier von punktweiser Konvergenz, meinst du dann nur für den Fall, dass fast sichere Konvergenz vorliegt
oder sind die Grenzwertsätze auch noch gültig, wenn wir z.B. [mm] L^p-Konvergenz [/mm] haben?
Besten Dank mal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Do 15.07.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo,
schau mal hier in diesem ![[]](/images/popup.gif) Skript auf Seite 19 sind paar Rechenregeln aufgeführt.
Da Konvergenz im p-ten Mittel die stochastische Konvergenz impliziert sollte mit Regel 2 auch diese ausreichen um wie oben vorzugehen.
(Der letzte Absatz ist falsch, siehe nächste Mitteilung!)
Gruß und sorry für die ersten verwirrenden Einträge war selber böse auf dem Schlauch gestanden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 Do 15.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Hey vivo,
herzlichsten Dank genau so was hab ich gesucht!!
Und kein Thema wegen den ersten Einträgen, war ja trotzdem nett, dass du versuchst hast zu helfen.
Dann also vielen Dank nochmal für den Link.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:46 Fr 16.07.2010 | | Autor: | vivo |
Hallo kegel53,
ich hab in der antwort geschrieben:
da Konvergenz im p-ten Mittel die stochstsiche Konvergenz impliziert
(soweit stimmts aber dann kommt)
sollte mit Regel zwei ... wie oben vorgegangen werden können
hier gibts ein Problem:
Regel 2 besagt ja nur, dass [mm] $X_n Y_n$ [/mm] stochastisch gegen $XY$ konvergiert, die stochastische Konvergenz dürfte aber nicht ausreichen um so wie oben bei der fast sicheren (punktweisen) vorzugehen.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:32 Fr 16.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Hmm.. ja stimmt da hast du Recht.
Nun immerhin weiß ich jetzt, dass es für fast sichere und stochastische Konvergenz geht sowie
dann natürlich auch für Konvergenz in Verteilung.
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