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Konvergenz fast überall: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:33 Di 01.04.2014
Autor: Herbart

Hallo,

eine kurze generelle Definitionsfrage. Wenn in einer Aufgabe [mm] $f_n\to [/mm] f$ [mm] \mu [/mm] - fast-überall zu zeigen ist, ist dann damit gleichmäßige oder punktweise konvergenz gemeint? Wie bestimme ich das?
Ich würde wie folgt vorgehen:
Sei [mm] f_n:\Omega\supseteq A\to \IR [/mm] Funktionenfolge und [mm] f:\Omega\supseteq A\to \IR [/mm] Funktion.
gleichmäßig konvergent [mm] \mu-fast-ueberall \gdw \mu(\Omega\setminus\{x:\limes_{n\rightarrow\infty}sup\{|f_n(x)-f(x)|:x\in A\}=0\})=0 [/mm]
punktweise konvergent [mm] \mu-fast-ueberall \gdw \mu(\Omega\setminus\{x:\limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)\}) [/mm]
Oder wäre das falsch?

MfG Herbart

        
Bezug
Konvergenz fast überall: Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:06 Di 01.04.2014
Autor: Herbart

Es soll $ [mm] f_n:\Omega\to \IR [/mm] $ und $ [mm] f:\Omega\to \IR [/mm] $ heißen.

MfG Herbart

Bezug
        
Bezug
Konvergenz fast überall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:53 Di 01.04.2014
Autor: tobit09

Hallo Herbart!


> eine kurze generelle Definitionsfrage. Wenn in einer
> Aufgabe [mm]f_n\to f[/mm] [mm]\mu[/mm] - fast-überall zu zeigen ist, ist
> dann damit gleichmäßige oder punktweise konvergenz
> gemeint?

Damit ist eine Abschwächung der punktweisen Konvergenz gemeint.

Seien [mm] $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ [/mm] ein Maßraum und [mm] $f_n\colon\Omega\to\IR$ [/mm] sowie [mm] $f\colon\Omega\to\IR$. [/mm]

[mm] "$f_n\to [/mm] f$ [mm] $\mu$-fast-überall" [/mm] bedeutet dann per Definitionem, dass es eine [mm] $\mu$-Nullmenge [/mm] $N$ gibt mit [mm] $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$ [/mm] für alle [mm] $x\in N^c$. [/mm]

Falls zusätzlich alle [mm] $f_n$ [/mm] und $f$ messbar sind (bezüglich [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] und der Borelschen Sigma-Algebra auf [mm] $\IR$), [/mm] gilt

      [mm] $M:=\{x\in\Omega\;|\;(f_n(x))_{n\in\IN}\text{ nicht konvergent gegen }f(x)\}\in\mathcal{A}$ [/mm]

und die Folge der [mm] $f_n$ [/mm] konvergiert genau dann [mm] $\mu$-fast-überall [/mm] gegen $f$, wenn [mm] $\mu(M)=0$ [/mm] gilt.


> Ich würde wie folgt vorgehen:
>  Sei [mm]f_n:\Omega\supseteq A\to \IR[/mm] Funktionenfolge und
> [mm]f:\Omega\supseteq A\to \IR[/mm] Funktion.
>  gleichmäßig konvergent [mm]\mu-fast-ueberall \gdw \mu(\Omega\setminus\{x:\limes_{n\rightarrow\infty}sup\{|f_n(x)-f(x)|:x\in A\}=0\})=0[/mm]

Du verwendest $x$ in zweierlei Bedeutung gleichzeitig. Das ist nicht sinnvoll.

> punktweise konvergent [mm]\mu-fast-ueberall \gdw \mu(\Omega\setminus\{x:\limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)\})[/mm]

=0 meinst du sicherlich.

Falls [mm] $\{x\in\Omega:\limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)\}\in\mathcal{A}$ [/mm] gilt (z.B. wegen der Messbarkeit der [mm] $f_n$ [/mm] und von $f$), ist die Konvergenz der Folge der [mm] $f_n$ [/mm] gegen $f$ in der Tat gleichbedeutend mit [mm] $\mu(\Omega\setminus\{x\in\Omega:\limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)\})=0$. [/mm]


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Konvergenz fast überall: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:14 Di 01.04.2014
Autor: Herbart

Vielen Dank!

MfG Herbart

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