Konvergenz für variablen Wert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 So 01.11.2009 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Für welche Werte von x konvergiert die Reihe
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}}{2^{k}}$ [/mm] |
Guten Abend,
Ich habe in das Wurzelkriterium eingesetzt:
[mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}\vmat{\frac{x}{2}}<1$ [/mm] also für $x= [mm] \pm [/mm] 2$
ist das so richtig umgeformt ?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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Hallo kushkush,
> Für welche Werte von x konvergiert die Reihe
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}}{2^{k}}[/mm]
> Guten Abend,
>
>
> Ich habe in das Wurzelkriterium eingesetzt:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\vmat{\frac{x}{2}}<1[/mm] also für
> [mm]x= \pm 2[/mm]
Naja. x kann ja nicht nur die Werte -2 und 2 annehmen (um genau zu sein, die nun eben gerade nicht!), sondern aus dieser Ungleichung erhältst du dass für x gelten muss:
[mm] $x\in(-2,2)$.
[/mm]
Das sieht man übrigens auch daran, dass
[mm] $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{2^{k}}$ [/mm] = [mm] $\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^{k}$
[/mm]
eine geometische Reihe der Form [mm] $\sum_{k=0}^{\infty}q^{k}$ [/mm] ist, die bekanntermaßen für $|q| < 1$ konvergiert. Auch daraus folgt also [mm] $x\in(-2,2)$.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 So 01.11.2009 | | Autor: | kushkush |
Danke steppenhahn.
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