Konvergenz gegen Normalvert. < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] (X_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine Folge unabhängig und identisch verteilter Zufallsvariablen mit Erwartungswert 0 und endlichem zweiten Moment. Zeige, dass dann gilt:
[mm] $\sqrt{n}*\frac{\overline{X_{n}}}{\sqrt{S^{2}}}\overset{D}{\to} [/mm] N(0,1)$,
wobei [mm] $\overline{X_{n}}=\frac{1}{n}*\sum_{k=1}^{n}X_{k}$ [/mm] und [mm] $S^{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}X_{k}^{2}$. [/mm] |
Hallo!
Ich habe mit erstmal überlegt, wie die Voraussetzungen genau aussehen: [mm] $E(X_{i}) [/mm] = 0$ und "endliches zweites Moment" bedeutet doch: [mm] $E(X_{i}^{2}) [/mm] < [mm] \infty$, [/mm] also ist die Varianz von den [mm] X_{i} [/mm] endlich und ich kann sie bezeichnen mit [mm] $\sigma [/mm] := [mm] Var(X_{i})$.
[/mm]
Ich denke, dass die Aufgabe auf den zentralen Grenzwertsatz hinausläuft. Ich weiß, dass
[mm] $\sqrt{n}*\frac{\overline{X_{n}}}{\sigma}\overset{D}{\to} [/mm] N(0,1)$
gilt (ZGWS). Das Problem ist, dass da nun aber [mm] \sqrt{S^{2}} [/mm] stattdessen steht. Deswegen dachte ich, vielleicht kann man es so schreiben:
[mm] $\sqrt{n}*\frac{\overline{X_{n}}}{\sqrt{S^{2}}} [/mm] = [mm] \sqrt{n}*\frac{\overline{X_{n}}}{\sigma}*\frac{\sigma}{\sqrt{S^{2}}}$.
[/mm]
Dann könnte ich schonmal vom linken Faktor sagen, dass er gegen N(0,1) konvergiert (in Verteilung), und dann müsste ich noch zeigen, dass [mm] $\frac{\sigma}{\sqrt{S^{2}}}\overset{P}{\to} [/mm] 1$ stochastisch gegen 1 geht, dann könnte ich den Satz von Slutsky anwenden.
Zwei Fragen habe ich nun:
- Gibt es nicht ein Problem bei [mm] $Var(X_{i}) [/mm] = 0$ ? Oder kann das gar nicht eintreten (warum?)
- Wie genau mache ich das jetzt mit [mm] $\frac{\sigma}{\sqrt{S^{2}}}\overset{P}{\to} [/mm] 1$ ? Wie fange ich da an?
--> Ich denke, es reicht zu zeigen, dass [mm] \frac{\sigma^{2}}{S^{2}} [/mm] gegen 1 geht (Wegen continuus mapping theorem). Also müsste ich zeigen:
[mm] $P(|\frac{\sigma^{2}}{S^{2}}-1|\ge \varepsilon) \to [/mm] 0$ für alle [mm] \varepsilon.
[/mm]
Aber wie geht's jetzt weiter?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Do 14.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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