Konvergenz in Folgenräumen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:49 Di 08.12.2009 | | Autor: | jujuju |
| Aufgabe | Wir betrachten den Raum [mm] l^{∞}={a=(a_{k})k∈\IN ⎮ak∈\IC ∧ ∃ C ∈\IR : sup k ∈\IN ⎮a_{k}⎮≤C} [/mm] der beschränkten folgen zusammen mit der Norm [mm] ⎮⎮a⎮⎮_{l^{∞}}=sup k∈\IN⎮a_{k}⎮.
[/mm]
durch [mm] x_{n}n∈\IN [/mm] mit [mm] x_{n,k}:=\begin{cases} k, & \mbox{für } k \mbox{ ≤n} \\ 0, & \mbox{für } k \mbox{ k
ist eine Folge in [mm] l^{∞} [/mm] gegeben (also [mm] x_{n}=x_{n,k}k∈\IN [/mm] ist für jedes [mm] n∈\IN [/mm] ein Element von [mm] l^{∞}.
[/mm]
Untersuchen sie die punktweise Konvergenz der komplexen folgen [mm] (xn,k)n∈\IN [/mm] für ein festes [mm] k∈\IN [/mm] und die Konvergenz von xn in [mm] l^{∞}. [/mm] |
ichweiß ehrlich gesagt gar nicht wie ich da ran gehen soll. Ich habs mal probiert aber es is total schief gegangen... Vielleicht könntet ihr mir sagen was falsch ist und mir helfen einen Lösungsansatz zu finden. Wäre echt nett.
"punktweise Konvergenz" der komplexen folge [mm] x_{n,k}n∈\IN [/mm] für ein festes [mm] k∈\IN [/mm] (das ist dann eine Folge [mm] in\IC)
[/mm]
Sei [mm] k∈\IN \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n,k}=0
[/mm]
Konvergenz von [mm] x_{n} [/mm] in [mm] l^{∞}
[/mm]
konvergeirt [mm] x_{n} n∈\IN [/mm] gegen die punktweise grenzfolge (0) in [mm] l^{∞}?
[/mm]
[mm] ⎮⎮x_{n}⎮⎮_{∞} [/mm] = [mm] sup_{k∈\IN}⎮x_{n,k}⎮=1<∞
[/mm]
[mm] sup_{n∈\IN} ⎮⎮x_{n}-0⎮⎮_{∞}
[/mm]
[mm] ∀ε>0∃N∈\IN∀nN:⎮⎮x_{n}-0⎮⎮_{∞}<ε [/mm] ?
Es gilt: [mm] ⎮⎮x_{n}⎮⎮_{∞}=1 [/mm] für alle n ∈ [mm] \IN, [/mm] also konvergiert [mm] x_{n} n∈\IN [/mm] nicht in [mm] l^{∞}.
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Di 08.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Wir betrachten den Raum [mm]l^{∞}={a=(a_{k})k∈\IN ⎮ak∈\IC ∧ ∃ C ∈\IR : sup k ∈\IN ⎮a_{k}⎮≤C}[/mm]
> der beschränkten folgen zusammen mit der Norm
> [mm]⎮⎮a⎮⎮_{l^{∞}}=sup k∈\IN⎮a_{k}⎮.[/mm]
>
> durch [mm]x_{n}n∈\IN[/mm] mit [mm]x_{n,k}:=\begin{cases} k, & \mbox{für } k \mbox{ ≤n} \\ 0, & \mbox{für } k \mbox{ k
>
> ist eine Folge in [mm]l^{∞}[/mm] gegeben (also
> [mm]x_{n}=x_{n,k}k∈\IN[/mm] ist für jedes [mm]n∈\IN[/mm] ein Element von
> [mm]l^{∞}.[/mm]
> Untersuchen sie die punktweise Konvergenz der komplexen
> folgen [mm](xn,k)n∈\IN[/mm] für ein festes [mm]k∈\IN[/mm] und die
> Konvergenz von xn in [mm]l^{∞}.[/mm]
> ichweiß ehrlich gesagt gar nicht wie ich da ran gehen
> soll. Ich habs mal probiert aber es is total schief
> gegangen... Vielleicht könntet ihr mir sagen was falsch
> ist und mir helfen einen Lösungsansatz zu finden. Wäre
> echt nett.
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> "punktweise Konvergenz" der komplexen folge [mm]x_{n,k}n∈\IN[/mm]
> für ein festes [mm]k∈\IN[/mm] (das ist dann eine Folge [mm]in\IC)[/mm]
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> Sei [mm]k∈\IN \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n,k}=0[/mm]
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> Konvergenz von [mm]x_{n}[/mm] in [mm]l^{∞}[/mm]
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> konvergeirt [mm]x_{n} n∈\IN[/mm] gegen die punktweise grenzfolge
> (0) in [mm]l^{∞}?[/mm]
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> [mm]⎮⎮x_{n}⎮⎮_{∞}[/mm] = [mm]sup_{k∈\IN}⎮x_{n,k}⎮=1<∞[/mm]
> [mm]sup_{n∈\IN} ⎮⎮x_{n}-0⎮⎮_{∞}[/mm]
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> [mm]∀ε>0∃N∈\IN∀nN:⎮⎮x_{n}-0⎮⎮_{∞}<ε[/mm] ?
> Es gilt: [mm]⎮⎮x_{n}⎮⎮_{∞}=1[/mm] für alle n ∈ [mm]\IN,[/mm]
> also konvergiert [mm]x_{n} n∈\IN[/mm] nicht in [mm]l^{∞}.[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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FRED
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