Konvergenz in L^1 < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Di 29.11.2011 | | Autor: | shadee |
| Aufgabe | | Sei (S, [mm] \mathcal{F},\mu) [/mm] = [mm] ((0,+\infty),(0,+\infty) \cap \mathcal{B}^1,\lambda^1) [/mm] unf f [mm] \in \mathcal{L}^1 [/mm] sei eine monoton fallende Funktion. Zeige, dass [mm] g_n(x) [/mm] = f(x + [mm] \frac{1}{n}) [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] in [mm] L^1 [/mm] konvergiert. |
Konvergenz in [mm] L^1 [/mm] bedeutet ja hier: [mm] lim_{n \to \infty} \integral_{}^{}{|g_n - f| d\mu} [/mm] = 0. Jetzt weiß ich aber nicht genau, wie ich das zeigen soll. Einerseits könnte ich über die Minkowskiungleichung gehen und zeigen, dass [mm] \integral_{}^{}{|g_n| d\mu} [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{|f| d\mu} [/mm] gegen 0 geht. Wobei ich dann aber wieder nicht weiterkomme. Andererseits könnte ich zeigen, dass [mm] g_n [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] \mathcal{L}^1 [/mm] ist und dann mit dem Satz von Fischer-Riesz argumentieren. Nun weiß ich aber nicht genau, wie ich zeigen kann, dass eine Folge eine Cauchyfolge ist (ich weiß was eine Cauchyfolge ist).
Zudem ist mir nicht ganz klar, was mir die Zusatzinformation bringt, dass f fallend ist. Ich weiß ja dann damit, dass [mm] g_n \geq [/mm] f ist für alle x [mm] \in [/mm] S. Könnte ich dann mit dem Lemma von Fatou an die Sache ran?
Danke für jeden Tipp, Grüße
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> Sei (S, [mm]\mathcal{F},\mu)[/mm] = [mm]((0,+\infty),(0,+\infty) \cap \mathcal{B}^1,\lambda^1)[/mm]
> unf f [mm]\in \mathcal{L}^1[/mm] sei eine monoton fallende Funktion.
> Zeige, dass [mm]g_n(x)[/mm] = f(x + [mm]\frac{1}{n})[/mm] für n [mm]\to \infty[/mm]
> in [mm]L^1[/mm] konvergiert.
> Konvergenz in [mm]L^1[/mm] bedeutet ja hier: [mm]lim_{n \to \infty} \integral_{}^{}{|g_n - f| d\mu}[/mm]
> = 0. Jetzt weiß ich aber nicht genau, wie ich das zeigen
> soll. Einerseits könnte ich über die Minkowskiungleichung
> gehen und zeigen, dass [mm]\integral_{}^{}{|g_n| d\mu}[/mm] -
> [mm]\integral_{}^{}{|f| d\mu}[/mm] gegen 0 geht. Wobei ich dann aber
> wieder nicht weiterkomme. Andererseits könnte ich zeigen,
> dass [mm]g_n[/mm] eine Cauchyfolge in [mm]\mathcal{L}^1[/mm] ist und dann mit
> dem Satz von Fischer-Riesz argumentieren. Nun weiß ich
> aber nicht genau, wie ich zeigen kann, dass eine Folge eine
> Cauchyfolge ist (ich weiß was eine Cauchyfolge ist).
>
> Zudem ist mir nicht ganz klar, was mir die
> Zusatzinformation bringt, dass f fallend ist. Ich weiß ja
> dann damit, dass [mm]g_n \geq[/mm] f ist für alle x [mm]\in[/mm] S.
Umgekehrt: Die Monotonie von f impliziert, dass [mm] g_n(x) [/mm] für festes x monoton wachsend ist mit [mm] g_n(x)\le [/mm] f(x). Außerdem folgt aus [mm] f\in L^1 [/mm] und f monoton fallend, dass [mm] f\ge [/mm] 0 und [mm] g_n\ge [/mm] 0 gelten muss.
Damit kannst du den Satz von der monotonen Konvergenz anwenden.
> Könnte
> ich dann mit dem Lemma von Fatou an die Sache ran?
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> Danke für jeden Tipp, Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Di 29.11.2011 | | Autor: | shadee |
Der Satz von der Montonen Konvergenz sagt dass [mm] \integral_{}^{}{|f|d\mu} [/mm] = [mm] lim_{n \to \infty} \integral_{}{}{|f_n|d\mu}. [/mm] Somit erhalte ich ja, dass die Differenz beider, die ich über die Dreiecksungleichung erhalte gegen 0 geht somit also auch die Konvergenz.
Wir hatten aber den Satz ind er Form [mm] \integral_{}^{}{sup_{n \in \mathbb{N}} f_n d\mu} [/mm] = [mm] sup_{n \in \mathbb{N}} \integral_{}^{}{ f_n d\mu}. [/mm] Wie komm ich jetzt zu der Form wie sie oben steht? Erreiche ich das nicht eben durch die Monotonie?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 Di 29.11.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Der Satz von der Montonen Konvergenz sagt dass $ [mm] \integral_{}^{}{|f|d\mu} [/mm] $ = $ [mm] lim_{n \to \infty} \integral_{}{}{|f_n|d\mu}. [/mm] $
Ich würde das ohne Betragsstriche schreiben. Aber ich weiß nicht, was Du von f forderst.
Für das f aus der Angabe brauchst Du sie aber definitiv nicht.
> Somit erhalte ich ja, dass die Differenz beider, die ich über die Dreiecksungleichung erhalte gegen 0 geht somit also auch die Konvergenz.
Das ist eine sehr kromulente Aussage; aber etwas präzise Notation wäre netter als schwammiges Schwadronieren. =)
Zu Deiner Frage:
[mm] $f_n$ [/mm] konvergiert (f.ü.) monoton wachsend gegen f, also gilt [mm] $\sup_n f_n=\lim_n f_n$ [/mm] (wieso? Was genau ist die Definition des Supremums?). [mm] $\int f_n\ d\lambda$ [/mm] konvergiert selbst wieder monoton wachsend, also gilt da das gleiche.
> Erreiche ich das nicht eben durch die Monotonie?
Es würde Konvergenz von unten reichen, aber ja, es folgt aus der Monotonie.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:04 Mi 30.11.2011 | | Autor: | shadee |
Ah ok damit hab ichs. Danke euch :)
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